Legea conservării energiei mecanice pentru un pendul cu arc. Energia mișcării oscilatorii

SCOP: testarea experimentală a legii conservării energiei mișcării de translație-rotație pe pendulul Maxwell; determinați viteza mișcării de translație a pendulului din relațiile energetice și cinematice și comparați-le.

ECHIPAMENT: Pendul Maxwell cu inele interschimbabile; cronometru electronic.

BAZELE TEORIEI

Cea mai generală măsură a mișcării materiei este energia acesteia. În mecanică, aceasta este energia mecanică corespunzătoare mișcării mecanice a corpurilor. Există două tipuri de energie mecanică: cinetică și potențială.

Energie potențială. Energia definită aranjament reciproc corpuri care interacționează și în funcție doar de coordonate, se numește potențial. Loc de munca A 12 , efectuată de forțele conservatoare atunci când sistemul este transferat dintr-o stare în alta, este egală cu pierderea de energie potențială în aceste stări .

A 12 \u003d W 1 - W 2, (1)

Unde W 1 Și W 2 - respectiv, energia potențială a sistemului în stările 1 și 2.

Tipul specific de energie potențială depinde de natura câmpului de forță. În câmpul gravitației, energia potențială a unui corp de masă m se pare ca:

W = m g h , (2)

Unde g - accelerarea căderii libere;

h  înălțimea măsurată de la nivelul unde se află energia potențială W=0.

Energie kinetică. Aceasta este energia pe care o posedă un corp (sau un sistem de corpuri) datorită mișcării lor. Dacă corpul se mișcă înainte cu o viteză vși se rotește simultan în jurul unei axe cu o viteză unghiulară  , atunci energia cinetică totală a mișcării sale este:

Unde m- greutate corporala;

eu- moment de inerție.

După cum se poate observa, în timpul mișcării de rotație, rolul vitezei liniare este jucat de viteza unghiulară, iar rolul masei este jucat de momentul de inerție. impuls unghiular eu depinde nu numai de masă, ci și de distribuția acestei mase în raport cu axa de rotație. Sens eu pentru unele corpuri de formă geometrică obișnuită (tijă lungă, disc, minge, cilindru) sunt date în manualele despre cursul de fizică generală.

Legea conservării energiei. Energia mecanică a unui sistem închis de corpuri între care acţionează forţe conservatoare rămâne constantă. În astfel de sisteme, atunci când un corp se mișcă, energia cinetică este convertită în energie potențială și invers, în timp ce energia totală rămâne constantă. (Forțele conservatoare includ gravitaționale, elastice, Coulomb etc. Forțele neconservative sunt forțele de frecare, rezistență, deformare inelastică.).

Energia mecanică este conservată și în sistemele neînchise dacă forțele externe nu lucrează, deoarece măsura energiei este munca efectuată.

TEHNICA EXPERIMENTALA

Verificarea legii de conservare a energiei a mișcării de translație-rotație a corpului se realizează pe pendulul Maxwell. Pendulul lui Maxwell este un disc fixat pe o osie. Axa, la rândul ei, este suspendată pe două fire, fixate cu capetele superioare pe console.

Aceste fire pot fi înfășurate în jurul axei, iar atunci când sunt nerăsucite, pendulul efectuează o mișcare de translație-rotație, adică. se ridică și coboară, rotindu-se.

În timpul experimentului, au fost identificate două stări principale. În starea de 1 masă pendulară m este deasupra h. Energia mecanică a sistemului în această stare este doar egală cu energia potențială:

E 1 \u003d W 1 \u003d m g h. (4)

Să eliberăm pendulul. Sub acțiunea forțelor rezultante ale gravitației și a tensiunii firului, acesta începe să cadă (mișcare de translație), iar forțele de tensiune ale firelor îl vor face să se rotească.

Orez. 1. Vedere generală a pendulului lui Maxwell.

T- forta de tensionare a firului; F g - gravitatie.

În starea 2, pendulul a coborât de la înălțime h, se deplasează înainte cu viteza v,în timp ce se rotește în jurul unei axe care trece prin centrul de masă cu o viteză unghiulară  .În consecință, energia mecanică a sistemului în starea 2 este suma energiilor cinetice ale mișcării de translație și rotație:

. (5)

Într-un sistem selectat (un pendul în câmpul gravitațional) trebuie îndeplinită legea conservării energiei. Gravitația este o forță conservatoare. Forța de întindere a firului este o forță externă. dar ea nu lucrează, pentru că punctul său de aplicare cu o mică rotație a pendulului rămâne pe loc. Prin urmare:

. (6)

Viteza mișcării de translație a pendulului este legată de viteza unghiulară prin relație

v =  r, (7)

Unde r este raza axei pendulului.

Atunci formula (6) va lua forma:

2gh= v 2 (1+I/mr 2). (8)

Iar viteza mișcării de translație a pendulului capătă valoarea:

. (9)

Pentru a testa legea conservării energiei, calculăm viteza într-un alt mod independent, folosind relații cinematice cunoscute. Deoarece mișcarea pendulului este uniform accelerată, atunci dacă în timpul căderii t pendulul a trecut h, accelerația sa este

a = 2h / t2. (10)

De aici viteza mișcării de translație a pendulului la sfârșitul traseului:

v = a t = 2h/t. (unsprezece)

Viteza din (9) depinde de momentul de inerție al pendulului, care poate fi modificat prin instalarea diferitelor inele pe disc. Momentul de inerție al pendulului este definit ca

I \u003d I 0 + I D + I K. (12)

Unde eu 0 - momentul de inerție al axei,

este momentul de inerție al discului,

este momentul de inerție al inelului,

R D , R LA sunt razele discului și inelului.

Raza inelului este luată ca medie între razele interioare și exterioare. Deoarece raza axei pendulului este mult mai mică decât raza discului, momentul de inerție al axei poate fi neglijat.

Schema logică a metodei.

Dacă viteza determinată din legea conservării energiei prin relația (9) este egală cu viteza determinată cinematic prin formula (11), atunci aceasta confirmă conservarea energiei pentru sistemul selectat.

FINALIZAREA LUCRĂRII

1. Măsurați timpul de cădere a pendulului cu unul dintre inelele indicate de profesor.

2. Repetați măsurătorile de 5-10 ori.

3. Măsurați înălțimea de cădere și înălțimea de ridicare a pendulului.

4. Măsurați diametrul axei pendulului, diametrul interior și exterior al inelului cu un șubler.

PRELUCRAREA REZULTATELOR

1. Calculați timpul mediu de cădere și eroare de măsurare statistică  t.

2. Calculați viteza v 1 prin relaţie (11).

3. Calculați eroarea de măsurare a vitezei  v 1 conform regulii de calcul a erorii pentru măsurători indirecte.

4. Calculați momentul de inerție al pendulului cu inelul. Pe ele sunt marcate masele discului și ale inelului.

5. Calculați viteza pendulului v 2 prin relaţia (9).

6. Determinați măsura nepotrivirii  = ( v 1 - v 2 )/ v 1 și comparați cu eroarea relativă v 1 =  v 1 / v 1 .

SARCINA SUPLIMENTARĂ

Determinați pierderea de energie din diferența dintre înălțimea căderii și înălțimea ulterioară a pendulului.

Calculați forța medie efectivă de frecare care creează pierderea de energie.

ÎNTREBĂRI DE CONTROL

1. Care sunt tipurile de energie mecanică? Dați definițiile lor.

2. Formulați legea conservării energiei mecanice a sistemului și condițiile de implementare a acestuia.

3. Descrieți transformarea energiei pentru pendulul lui Maxwell.

4. Care este momentul de inerție al unui corp? Care este momentul de inerție al discului sau al inelului?

5. Cum se determină viteza de translație a pendulului lui Maxwell?

O minge mică suspendată pe un fir ușor inextensibil este capabilă să performeze gratuit mişcarea oscilatoare (Fig. 598).

orez. 598
Pentru a descrie mișcarea pendulului, vom considera bila ca un punct material și vom neglija masa firului și rezistența aerului. Un astfel de model se numește pendul matematic.
Ca o coordonată care descrie poziția mingii, alegem unghiul de abatere al firului de la verticală φ . Pentru a descrie modificarea acestei coordonate, este convenabil să folosiți ecuația dinamicii mișcării de rotație

Unde J = ml 2− momentul de inerție al sistemului, ε = ∆ω/∆t− accelerația unghiulară a corpului (derivata a doua a unghiului de rotație), M− momentul total al fortelor externe care actioneaza asupra sistemului 1 . Mingea este acționată de forțele gravitaționale mg și de tensiunea firului. Momentul de tensiune a firului Nîn raport cu punctul de suspendare este zero, deci ecuația (1) pentru o minge suspendată ia forma

sau

Această ecuație descrie oscilațiile unui pendul, dar nu este o ecuație a oscilațiilor armonice, deoarece momentul forțelor este proporțional cu sinusul unghiului de deviere și nu cu unghiul în sine. Totuși, dacă considerăm că unghiurile de deviere sunt mici (cât este aceasta - vom afla mai târziu), putem folosi formula aproximativă sinφ ≈ φîn această aproximare, ecuația (3) se transformă în ecuația familiară a oscilațiilor armonice

Unde Ω = √(g/l)− frecvenţa circulară a micilor oscilaţii ale pendulului 2 . Am scris deja soluția acestei ecuații

Aici φ o- abaterea maximă a firului, adică amplitudinea oscilațiilor. Pentru simplitate, vom presupune că viteza inițială a mingii este zero.
Perioada micilor oscilații ale pendulului este exprimată în termeni de frecvență circulară

Deoarece micile oscilații ale pendulului matematic sunt armonice, perioada lor nu depinde de amplitudine. Acest fapt a fost observat experimental de G. Galileo. La unghiuri mari de deviere, perioada de oscilație a pendulului matematic crește ușor.
Rețineți că perioada de oscilație a unui pendul matematic nu depinde, de asemenea, de masa bilei - amintiți-vă, accelerația căderii libere, precum și alte caracteristici ale mișcării unui corp în câmpul gravitațional al Pământului, nu depind, de asemenea, de masa corpului (dacă, desigur, neglijăm rezistența aerului).
Formula (6) poate fi utilizată și este folosită pentru a determina experimental accelerația gravitațională. Este destul de ușor de măsurat lungimea firului și perioada de oscilații experimental, apoi folosind formula (6) se poate calcula accelerația căderii libere.
Să încercăm să descriem mișcarea unui pendul matematic folosind legea conservării energiei mecanice. Energia cinetică a mingii este exprimată prin formula

Nivelul zero al referinței de energie potențială este compatibil cu punctul de suspendare al firului, atunci energia potențială a mingii este egală cu

Ecuația legii conservării energiei mecanice (ținând cont de condițiile inițiale) are forma

Această ecuație nu este, de asemenea, o ecuație a vibrațiilor armonice. Dar, dacă considerăm din nou unghiurile de deviere ale pendulului mici și folosim formula aproximativă

atunci ecuația (7) va intra în ecuația oscilațiilor armonice

sau

unde este indicat Ω = √(g/l)- frecvenţa circulară a oscilaţiilor, care coincide cu cea obţinută din ecuaţia dinamică (2).
Desigur, o astfel de coincidență nu este întâmplătoare - de fapt, în ambele abordări, am folosit aceeași aproximare a unghiurilor mici de deviere.

1 În principiu, se pot folosi și ecuațiile dinamicii mișcării de translație, dar abordarea folosită aici este de preferat, deoarece traiectoria punctului este un arc de cerc.
2 Am ales denumirea Ω (aceasta este și „omega”, doar capitală) pentru frecvența naturală a oscilațiilor mici, astfel încât denumirea tradițională ω − să rămână în urmă vitezei unghiulare a mingii, care va apărea ulterior în raționamentul nostru.

Repetiţie

Energie mecanică totală corp

\(W=W_(k) +W_(p1) +W_(p2), \; \; \; W_(k) =\frac(m\cdot \upsilon ^(2) )(2), \; \ ; \; W_(p1) =m\cdot g\cdot h, \; \; \; W_(p2) =\frac(k\cdot \Delta l^(2) )(2),\)

Unde W k- energia cinetică a corpului la un moment dat (energia mișcării), m- masa corporală, υ - valoarea vitezei corpului la un moment dat, W p 1 - energia potențială a corpului ridicată la o înălțime h, la un moment dat (energie de interacțiune), h- înălțimea corpului la un moment dat, W p 2 - energia potențială a corpului deformat la un moment dat, Δ l- alungirea absoluta a corpului la un moment dat.

Dacă nu există forțe externe într-un sistem închis (de exemplu, forțe de frecare), atunci energia mecanică totală a sistemului închis este conservată.

Pendul matematic

Luați în considerare transformarea energiei în timpul oscilațiilor unui pendul matematic. Să alegem un cadru de referință în așa fel încât energia sa potențială în poziția de echilibru să fie egală cu zero.

Când pendulul matematic oscilează, înălțimea se modifică h greutatea relativă la poziția de echilibru și viteza acesteia υ se modifică (Fig. 1). Mai mult, la deplasări maxime, înălțimea atinge valoarea maximă h max , iar viteza devine egală cu zero, în poziţia de echilibru este invers: înălţimea corpului este egală cu zero, iar viteza atinge valoarea maximă υ max .

Deoarece înălțimea unui corp determină energia lui potențială Wp\(\left(W_(p) =m\cdot g\cdot h\right),\) iar viteza este energia cinetică W k\(\left(W_(k) =\frac(m\cdot \upsilon ^(2))(2) \right),\) apoi odată cu schimbarea altitudinii și vitezei, energiile se vor schimba și ele.

Denumiri din tabel:

\(W_(p\; \max ) = m\cdot g\cdot h_(\max ), \; \; \; W_(p2) =m\cdot g\cdot h_(2), \; \; \ ; W_(p4) =m\cdot g\cdot h_(4), \; \; \; W_(p6) =m\cdot g\cdot h_(6),\)

Mex-majat-2-01.swf Orez. 3 Zoom Flash

Pendul de primăvară

Luați în considerare transformarea energiei în timpul oscilațiilor unui pendul cu arc orizontal. Să alegem un cadru de referință în așa fel încât energia sa potențială în poziția de echilibru să fie egală cu zero.

Când pendulul arcului oscilează, alungirea absolută a arcului Δ se modifică l raportat la poziția de echilibru (adică, deplasarea greutății se modifică X = Δ l) iar viteza greutății υ se modifică (Fig. 3). Mai mult, la deplasări maxime, alungirea absolută atinge valoarea maximă Δ l max , iar viteza devine egală cu zero, în poziţia de echilibru este invers: alungirea absolută este zero, iar viteza atinge valoarea maximă υ max .

Deoarece alungirea absolută a arcului determină energia potențială a acestuia Wp\(\left(W_(p) =\frac(k\cdot \Delta l^(2))(2) \right),\) iar viteza este energia cinetică W k\(\left(W_(k) =\frac(m\cdot \upsilon ^(2))(2) \right),\) apoi, odată cu modificarea alungirii absolute și a vitezei, energiile se vor schimba și ele.

Denumiri din tabel:

\(W_(p\; \max ) =\frac(k\cdot x_(\max )^(2) )(2), \;\;\; W_(p2) =\frac(k\cdot x_( 2)^(2) )(2), \;\;\; W_(p4) =\frac(k\cdot x_(4)^(2) )(2), \;\;\; W_(p6 ) =\frac(k\cdot x_(6)^(2) )(2),\)

\(W_(k\; \max ) =\frac(m\cdot \upsilon _(\max )^(2) )(2), \; \; \; W_(k2) =\frac(m\cdot \upsilon _(2)^(2) )(2), \; \; \; W_(k4) =\frac(m\cdot \upsilon _(4)^(2) )(2), \; \ ; \; W_(k6) =\frac(m\cdot \upsilon _(6)^(2) )(2).\)

Energia totală a pendulului este conservată în timp, deoarece nu există forță de frecare. Apoi

\(W=W_(k\, \max ) = W_(p\, \max ) = W_(k2) + W_(p2) = W_(k4) + W_(p4) = ...\)

Mex-majat-2-02.swf Orez. 5 Zoom Flash

Dacă pentru pendul vertical cu arc alegeți un cadru de referință în așa fel încât în ​​poziția de echilibru energia sa potențială să fie egală cu zero, atunci tot ceea ce este descris mai sus pentru un pendul orizontal poate fi aplicat acestui pendul.

Literatură

1. Zhilko, V.V. Fizica: manual. Indemnizație pentru învățământul general de clasa a 11-a. şcoală din rusă lang. antrenament / V.V. Zhilko, L.G. Markovich. - Minsk: Nar. Asveta, 2009. - S. 19-21.

Dacă corpul atașat la arc (Figura 4) este deviat de la poziția de echilibru cu o distanță A, de exemplu, spre stânga, atunci, după ce a trecut prin poziția de echilibru, se va abate la dreapta. Aceasta rezultă din legea conservării energiei.

Energia potenţială a unui arc comprimat sau întins este egală cu

unde k este rigiditatea arcului și x este alungirea acestuia. În poziția extremă din stânga, extensia arcului x \u003d - A, prin urmare, energia potențială este

Energia cinetică în acest moment este egală cu zero, deoarece viteza este egală cu zero. Prin urmare, energia potențială este energia mecanică totală a sistemului în acel moment. Dacă suntem de acord că forța de frecare este egală cu zero, iar celelalte forțe sunt echilibrate, atunci sistemul nostru poate fi considerat închis și energia sa totală nu se poate modifica în timpul mișcării. Când corpul, în timpul mișcării sale, se află în poziția extremă dreaptă (x=A), energia lui cinetică va fi din nou egală cu zero și energia totală va fi din nou egală cu energia potențială. Și energia totală nu se poate schimba. Deci este din nou egal

Aceasta înseamnă că corpul se va abate la dreapta cu o distanță egală cu A.

În poziția de echilibru, dimpotrivă, energia potențială este zero, deoarece arcul nu este deformat, x=0. În această poziție, energia totală a corpului este egală cu energia lui cinetică

unde m este masa corpului și este viteza acestuia (este maximă în acest moment). Dar și această energie cinetică trebuie să aibă o valoare egală. Prin urmare, în timpul mișcării oscilatorii, energia cinetică este convertită în energie potențială și invers. În orice punct între pozițiile de echilibru și deviația maximă, corpul are atât energie cinetică, cât și energie potențială, dar suma lor, adică. energia totală în orice poziție a corpului este egală. Energia mecanică totală W a unui corp oscilant este proporțională cu pătratul amplitudinii și oscilațiile sale

Pendule. Pendul matematic

Un pendul este orice corp suspendat astfel încât centrul său de greutate să fie sub punctul de suspensie. Aceasta înseamnă că sarcina suspendată pe o frânghie este un sistem oscilator similar pendulului unui ceas de perete. Orice sistem capabil să efectueze oscilații libere are o poziție stabilă de echilibru. Pentru un pendul, aceasta este poziția în care centrul de greutate se află pe verticală sub punctul de suspensie. Dacă scoatem pendulul din această poziție sau îl împingem, atunci acesta va începe să oscileze, deviând fie într-o direcție, fie în alta de la poziția de echilibru. Știm că cea mai mare abatere de la poziția de echilibru, până la care ajunge pendulul, se numește amplitudine de oscilație. Amplitudinea este determinată de deformarea sau împingerea inițială cu care pendulul a fost pus în mișcare. Această proprietate - dependența amplitudinii de condițiile de la începutul mișcării - este caracteristică nu numai pentru oscilațiile libere ale pendulului, ci și în general pentru oscilațiile libere ale foarte multor sisteme oscilatoare.

Perioada de oscilație a unui pendul fizic depinde de multe circumstanțe: de mărimea și forma corpului, de distanța dintre centrul de greutate și punctul de suspensie și de distribuția masei corporale în raport cu acest punct; prin urmare, calcularea perioadei unui corp suspendat este o sarcină destul de dificilă. Situația este mai simplă pentru pendulul matematic. Un pendul matematic este o sarcină suspendată de un fir subțire, ale cărei dimensiuni sunt mult mai mici decât lungimea firului, iar masa sa este mai mare decât masa firului. Aceasta înseamnă că corpul (greutatea) și firul trebuie să fie astfel încât greutatea să poată fi considerată un punct material, iar firul fără greutate. Din observațiile unor astfel de pendule se pot stabili următoarele legi simple.

1. Dacă, menținând aceeași lungime a pendulului (distanța de la punctul de suspensie la centrul de greutate al sarcinii), sunt suspendate sarcini diferite, atunci perioada de oscilație va fi aceeași, deși masele sarcinilor difera foarte mult. Perioada unui pendul matematic nu depinde de masa sarcinii.

2. Sida, care acționează asupra corpului în orice punct al traiectoriei, este îndreptată către poziția de echilibru, iar în punctul de echilibru însuși este egal cu zero.

3. Forța este proporțională cu abaterea corpului de la poziția de echilibru.

Orez. 5.

4. Dacă, la pornirea pendulului, acesta este deviat în unghiuri diferite (dar nu prea mari), atunci acesta va oscila cu aceeași perioadă, deși cu amplitudini diferite. Atâta timp cât amplitudinile nu sunt prea mari, oscilațiile sunt suficient de apropiate în forma lor de cele armonice, iar perioada pendulului matematic nu depinde de amplitudinea oscilațiilor. Această proprietate se numește izocronism (din cuvintele grecești „isos” – egal, „chronos” – timp).

Acest fapt a fost stabilit pentru prima dată în 1655 de Galileo, presupus în următoarele circumstanțe. Galileo a observat în Catedrala din Pisa balansarea unui candelabru (într-o biserică ortodoxă, un candelabru central, o lampă cu multe lumânări sau lămpi) pe un lanț lung, care era împins la aprindere. Pe parcursul serviciului, amplitudinea oscilațiilor a scăzut treptat (Capitolul 8), adică amplitudinea oscilațiilor a scăzut, dar perioada a rămas aceeași. Galileo și-a folosit propriul puls ca indicator al timpului.

Această proprietate a pendulului s-a dovedit a fi nu numai uimitoare, ci și utilă. Galileo a propus să folosească pendulul ca regulator al ceasului. Pe vremea lui Galileo, ceasurile erau alimentate de o greutate și se folosea un instrument brut asemănător unei morii de vânt pentru a regla viteza, care folosea rezistența aerului. Un pendul ar putea fi folosit pentru a număra intervale egale de timp, deoarece oscilațiile mici apar în același timp cu cele mari cauzate de rafale aleatorii de vânt. La un secol după Galileo, ceasurile cu pendul au intrat în uz, dar navigatorii încă aveau nevoie de ceasuri precise pentru a măsura longitudinea pe mare. A fost anunțat un premiu pentru realizarea unui astfel de ceas marin care să permită măsurarea timpului cu suficientă precizie. Harrison a primit premiul pentru un cronometru în care s-a folosit un volant (balanță) și un arc special pentru a regla cursul.

Acum derivăm o formulă pentru perioada de oscilație a unui pendul matematic.

Când pendulul oscilează, sarcina se mișcă accelerată de-a lungul arcului BA (Fig. 5, a) sub acțiunea forței de întoarcere P 1 , care se modifică în timpul mișcării.

Calculul mișcării unui corp sub acțiunea unei forțe neconstante este destul de complicat. Prin urmare, pentru simplitate, vom proceda după cum urmează.

Să facem ca pendulul să nu oscileze într-un singur plan, ci să descriem conul astfel încât sarcina să se miște într-un cerc (Fig. 5, b). Această mișcare poate fi obținută prin adăugarea a două vibrații independente: una încă în planul desenului și cealaltă în planul perpendicular. Evident, perioadele ambelor oscilații plane sunt aceleași, deoarece orice plan de oscilație nu este diferit de oricare altul. În consecință, perioada de mișcare complexă - rotația pendulului de-a lungul conului - va fi aceeași cu perioada de balansare într-un singur plan. Această concluzie poate fi ilustrată cu ușurință prin experiență directă, luând două pendule identice și spunându-i unuia dintre ele să se balanseze într-un plan, iar celuilalt să se rotească de-a lungul unui con.

Dar perioada de revoluție a pendulului „conic” este egală cu lungimea cercului descris de sarcină, împărțită la viteza:

Dacă unghiul de abatere de la verticală este mic (amplitudini mici!), atunci putem presupune că forța de întoarcere P 1 este îndreptată de-a lungul razei cercului BC, adică egală cu forța centripetă:

Pe de altă parte, din asemănarea triunghiurilor OBC și DBE rezultă că BE: BD=CB: OB. Deoarece OB=l, CB=r, BE=P 1, atunci de aici

Echivalând ambele expresii P 1 una cu cealaltă, obținem viteza de circulație

În cele din urmă, înlocuind aceasta în expresia pentru perioada T, găsim

Deci, perioada unui pendul matematic depinde numai de accelerația de cădere liberă g și de lungimea pendulului l, adică distanța de la punctul de suspensie la centrul de greutate al sarcinii. Din formula obtinuta rezulta ca perioada pendulului nu depinde de masa lui si de amplitudine (cu conditia ca acesta sa fie suficient de mic). Cu alte cuvinte, acele legi de bază care au fost stabilite anterior din observații au fost obținute prin calcul.

Dar această concluzie teoretică ne oferă mai mult: ne permite să stabilim o relație cantitativă între perioada pendulului, lungimea acestuia și accelerația căderii libere. Perioada unui pendul matematic este proporțională cu rădăcina pătrată a raportului dintre lungimea pendulului și accelerația datorată gravitației. Coeficientul de proporționalitate este egal cu 2?.

O modalitate foarte precisă de a determina această accelerație se bazează pe dependența perioadei pendulului de accelerația căderii libere. După ce am măsurat lungimea pendulului l și am determinat perioada T dintr-un număr mare de oscilații, putem calcula g folosind formula obținută. Această metodă este utilizată pe scară largă în practică.

coordonata de rezonanță a oscilației pendulului