Teoreme privind cel mai mare și cel mai mic număr natural. Matematică cu minoră

Funcția de corelare a semnalului este o caracteristică temporală

care oferă o idee despre viteza de schimbare a semnalului în timp, precum și durata semnalului fără a-l descompune în componente armonice.

Există funcții de autocorelare și corelație încrucișată. Pentru un semnal determinist f(t), funcția de autocorelare este dată de

unde este deplasarea în timp a semnalului.

caracterizează gradul de legătură (corelaţie) a semnalului f (t) cu acesta

o copie deplasată cu o sumă de-a lungul axei timpului. Să construim o funcție de autocorelare (ACF) pentru un impuls dreptunghiular f (t ) . Semnalul este deplasat către partea de avans, așa cum se arată în Fig. 6.25.

Pe grafic, fiecare valoare corespunde produsului ei și ariei de sub graficul funcției. Numeric

valorile acestor arii pentru τ corespunzătoare și dați ordonatele funcției

Pe măsură ce τ crește, acesta scade (nu neapărat monoton) și pt

Adică, mai mult decât durata semnalului este egală cu zero.

		este un semnal periodic, atunci ACF K f (t) =				f (t ) × f t(+ t ) dt și

este și o funcție periodică cu perioada T .

Luați în considerare principalele proprietăți ale funcției de autocorelare:

1. ACF este o funcție uniformă, adică și cu creșterea funcției scade.

2. ACF atinge max la , deoarece orice semnal este pe deplin corelat cu el însuși. În acest caz, valoarea maximă a ACF este egală cu energia

semnal, adică	E \u003d K f (0) \u003d ò f 2 (t) dt. Pentru semnal periodic
puterea medie a semnalului.
	și pătratul modulului densității spectrale
între ele prin transformată Fourier directă și inversă.

Cu cât spectrul de semnal este mai larg, cu atât intervalul de corelație este mai mic, adică shift value , în cadrul căreia funcția de corelare este diferită de zero. În consecință, cu cât intervalul de corelare a semnalului este mai mare, cu atât spectrul acestuia este mai îngust.

Funcția de corelare poate fi folosită și pentru a estima gradul de conexiune dintre două semnale diferite f 1 (t) și f 2 (t) deplasate în timp

În acest caz, se numește funcție de corelație încrucișată (CCF) și este determinată de expresia:

Funcția de corelație încrucișată nu este neapărat egală în raport cu τ și nu atinge neapărat un maxim at. Construcția VKF pentru două semnale triunghiulare f 1 (t) și f 2 (t) este prezentată în fig. 6.26. Când este tuns

semnalul f 2 (t) la stânga (t\u003e 0, Fig. 6.26, a), funcția de corelare a semnalului crește mai întâi, apoi scade la zero la. Când semnalul f 2 (t) este deplasat la dreapta (t< 0, рис. 6.26, б) корреляционная функция сразу убывает. В результате получается нессиметричная относительно оси ординат ВКФ , показанная на рис. 6.26, в.

f1(t)

f2(t)

0 T t

0 t -T T

f 1 (t) × f 2 (t + t)

f1(t)

f2(t)

0 T

T T + t

f 1 (t) × f 2 (t - t)

6.9. Conceptul de semnale modulate. Modulație de amplitudine

Semnalele de înaltă frecvență sunt folosite pentru a transmite informații la distanță. Informația transmisă trebuie să fie, într-un fel sau altul, încorporată într-o oscilație de înaltă frecvență, care se numește purtătoare. Selecția ceaiului

Valoarea ω a semnalului purtător depinde de mulți factori, dar în orice caz ω

ar trebui să fie mult mai mare decât frecvența cea mai înaltă a spectrului mesajului transmis, adică

În funcție de natura purtătorului, se disting două tipuri de modulație:

– continuu - cu o purtătoare armonică continuă în timp;

– puls - cu un purtător sub forma unei secvențe periodice de impulsuri.

Un semnal care transportă informații poate fi reprezentat ca

Dacă și sunt valori constante, atunci aceasta este o oscilație armonică simplă care nu poartă informații. Dacă și sunt forțați să se schimbe pentru a transmite un mesaj, atunci oscilația devine modulată.

Dacă A (t) se modifică, atunci aceasta este modulația de amplitudine, dacă unghiul este unghiular. Modulația unghiulară este împărțită în două tipuri: frecvență (FM) și fază (PM).

De la , apoi și sunt funcții de timp care variază încet. Apoi putem presupune că pentru orice tip de modulație, parametrii semnalului

(1) (amplitudinea, faza și frecvența) se modifică atât de lent încât, într-o perioadă, oscilația de înaltă frecvență poate fi considerată armonică. Această premisă stă la baza proprietăților semnalelor și a spectrelor lor.

Modulația de amplitudine (AM). Cu AM, anvelopa de amplitudine a semnalului purtător se modifică conform unei legi care coincide cu legea modificării mesajului transmis, frecvențanu se schimbă, iar faza inițialăpoate fi diferită în funcție de momentul începerii modulației. Expresia generală (6.22) poate fi înlocuită cu

O reprezentare grafică a unui semnal modulat în amplitudine este prezentată în. 6.27. Aici S(t) este mesajul continuu transmis, amplitudinea semnalului armonic purtător de înaltă frecvență. Plicul A (t) se modifică conform legii care reproduce mesajul

Sf).

Mai mult, cel mai mare. este frecvența funcției de modulare, este faza inițială a anvelopei. Această modulație se numește este tonal (6,28). repetă legea schimbării semnalului inițial (Fig. 6.28, b).

3 Analiza corelației semnalelor

Sensul analizei spectrale a semnalelor este de a studia modul în care un semnal poate fi reprezentat ca sumă (sau integrală) de oscilații armonice simple și modul în care forma semnalului determină structura de distribuție a frecvenței a amplitudinilor și fazelor acestor oscilații. În schimb, sarcina analizei corelației semnalelor este de a determina măsura gradului de similitudine și diferență între semnale sau copii deplasate în timp ale unui semnal. Introducerea unei măsuri deschide calea către măsurători cantitative ale gradului de similitudine a semnalului. Se va demonstra că există o anumită relație între caracteristicile spectrale și de corelație ale semnalelor.

3.1 Funcția de autocorelare (ACF)

Funcția de autocorelare a unui semnal cu energie finită este valoarea integralei produsului a două copii ale acestui semnal, deplasate una față de cealaltă cu un timp τ, considerat ca o funcție a acestei deplasări în timp τ:

Dacă semnalul este definit pe un interval de timp finit, atunci ACF-ul său se găsește ca:

,

unde este intervalul de suprapunere al copiilor de semnal deplasat.

Se crede că cu cât valoarea funcției de autocorelare este mai mare la o valoare dată de , cu atât două copii ale semnalului deplasate de intervalul de timp t sunt mai asemănătoare între ele. Prin urmare, funcția de corelare este o măsură de similitudine pentru copiile deplasate ale semnalului.

Măsura similarității introdusă în acest fel pentru semnalele care au forma unor fluctuații aleatorii în jurul zero are următoarele proprietăți caracteristice.

Dacă copiile deplasate ale semnalului oscilează aproximativ în timp unele cu altele, atunci acesta este un semn al similitudinii lor, iar ACF ia valori pozitive mari (corelație pozitivă mare). Dacă copiile oscilează aproape defazate, ACF-ul preia valori negative mari (anti-similaritate a copiilor semnal, corelație negativă mare).

ACF maxim se realizează atunci când copiile coincid, adică în absența unei ture. Valorile zero ACF sunt atinse la schimburi la care nici asemănarea, nici antisimilaritatea copiilor de semnal nu este vizibilă (corelație zero,

nicio corelare).

Figura 3.1 prezintă un fragment al implementării unui semnal în intervalul de timp de la 0 la 1 s. Semnalul oscilează aleatoriu în jurul zero. Deoarece intervalul de existență al semnalului este finit, atunci energia lui este și ea finită. ACF-ul său poate fi calculat conform ecuației:

.

Funcția de autocorelare a semnalului, calculată în MathCad în conformitate cu această ecuație, este prezentată în fig. 3.2. Funcția de corelare arată nu numai că semnalul este similar cu el însuși (deplasare τ=0), ci și că copiile semnalului, deplasate unele față de altele cu aproximativ 0,063 s, au o oarecare similitudine (maximul lateral al funcției de autocorelare). În contrast, copiile semnalului deplasate cu 0,032 s ar trebui să fie arcuri anti-asemănătoare între ele, adică să fie într-un anumit sens opuse una față de alta.

Figura 33 prezintă perechi din aceste două copii. Din figură, se poate urmări ce se înțelege prin similitudine și antisimilaritate a copiilor de semnal.

Funcția de corelare are următoarele proprietăți:

1. La τ = 0, funcția de autocorelare ia cea mai mare valoare egală cu energia semnalului

2. Funcția de autocorelare este o funcție uniformă a deplasării în timp .

3. Pe măsură ce τ crește, funcția de autocorelare scade la zero

4. Dacă semnalul nu conține discontinuități precum δ - funcții, atunci - o funcție continuă.

5. Dacă semnalul este o tensiune electrică, atunci funcția de corelare are dimensiunea .

Pentru semnalele periodice în definirea funcției de autocorelare, aceeași integrală este împărțită la perioada de repetare a semnalului:

.

Astfel, funcția de corelare introdusă are următoarele proprietăți:

Valoarea funcției de corelare la zero este egală cu puterea semnalului,

Dimensiunea funcției de corelare este egală cu pătratul dimensiunii semnalului, de exemplu .

De exemplu, să calculăm funcția de corelare a unei oscilații armonice:

Folosind o serie de transformări trigonometrice, obținem în sfârșit:

Astfel, funcția de autocorelare a unei oscilații armonice este o undă cosinus cu aceeași perioadă de schimbare ca și semnalul însuși. La deplasările care sunt multipli ai perioadei de oscilație, armonica este convertită în sine și ACF ia cele mai mari valori egale cu jumătate din pătratul amplitudinii. Deplasările în timp care sunt multipli ai jumătate din perioada de oscilație sunt echivalente cu o defazare cu un unghi , în timp ce semnul oscilațiilor se modifică, iar ACF ia o valoare minimă, negativă și egală cu jumătate din pătratul amplitudinii. Schimbările care sunt multipli ai unui sfert de perioadă traduc, de exemplu, o undă sinusoidală într-o undă cosinus și invers. În acest caz, ACF dispare. Astfel de semnale, care sunt în cuadratura unul față de celălalt, din punctul de vedere al funcției de autocorelare, se dovedesc a fi complet diferite unele de altele.

Este important ca expresia funcției de corelare a semnalului să nu includă faza sa inițială. Informațiile de fază se pierd. Aceasta înseamnă că semnalul în sine nu poate fi reconstruit din funcția de corelare a semnalului. Cartografierea, spre deosebire de cartografiere, nu este una la unu.

Dacă mecanismul de generare a semnalului este înțeles ca un anumit demiurg care creează un semnal în funcție de funcția de corelație aleasă de el, atunci el ar putea crea un întreg set de semnale (un ansamblu de semnale) care au într-adevăr aceeași funcție de corelație, dar diferă de reciproc în relații de fază.

Actul de manifestare printr-un semnal al liberului arbitru, independent de voința creatorului (apariția unor realizări separate ale unui proces aleatoriu),

Rezultatul violenței străine asupra semnalului (introducerea în semnal a informațiilor de măsurare obținute în timpul măsurătorilor oricărei mărimi fizice).

Același lucru este valabil pentru orice semnal periodic. Dacă un semnal periodic cu o perioadă principală T are un spectru de amplitudine și un spectru de fază, atunci funcția de corelare a semnalului ia următoarea formă:

.

Deja în aceste exemple se manifestă o oarecare legătură între funcția de corelare și proprietățile spectrale ale semnalului. Aceste relații vor fi discutate mai detaliat mai târziu.

3.2 Funcția de corelație încrucișată (CCF).

Spre deosebire de funcția de autocorelare, funcția de corelație încrucișată determină gradul de similitudine al copiilor a două semnale diferite x(t) și y(t) deplasate în timp τ unul față de celălalt:

Funcția de corelație încrucișată are următoarele proprietăți:

1. La τ = 0, funcția de corelație încrucișată ia o valoare egală cu energie reciprocă semnale, adică energia interacțiunii lor

.

2. Pentru orice τ, este valabilă următoarea relație:

,

unde sunt energiile semnalului.

3. Schimbarea semnului deplasării timpului este echivalentă cu permutarea reciprocă a semnalelor:

.

4. Odată cu creșterea lui τ, funcția de corelație încrucișată, deși nu este monoton, scade la zero

5. Valoarea funcției de corelație încrucișată la zero nu iese în evidență printre alte valori.

Pentru semnalele periodice, conceptul de funcție de corelație încrucișată, de regulă, nu este folosit deloc.

Dispozitivele de măsurare a valorilor funcțiilor de autocorelare și corelație încrucișată se numesc corelometre sau corelatori. Corelometrele sunt utilizate, de exemplu, pentru a rezolva următoarele informații și sarcini de măsurare:

Analiza statistică a electroencefalogramelor și a altor rezultate ale înregistrării biopotențialelor,

Determinarea coordonatelor spațiale ale sursei de semnal prin mărimea deplasării în timp la care este atins CCF maxim,

Izolarea unui semnal slab pe fundalul unei interferențe statice puternice fără legătură,

Detectarea și localizarea canalelor de scurgere de informații prin determinarea corelației dintre semnalele radio din încăpere și din afara acesteia,

Detectarea automată în câmpul apropiat, recunoașterea și căutarea dispozitivelor de ascultare cu emisie radio care funcționează, inclusiv telefoane mobile utilizate ca dispozitive de ascultare;

Localizarea scurgerilor în conducte pe baza determinării VCF a două semnale acustice de zgomot cauzate de o scurgere în două puncte de măsurare unde senzorii sunt amplasați pe conductă.

3.3 Relații dintre corelație și funcțiile spectrale.

Atât funcțiile de corelație, cât și cele spectrale descriu structura internă a semnalelor, structura lor internă. Prin urmare, se poate aștepta să existe o anumită interdependență între aceste două moduri de descriere a semnalelor. Ați văzut deja prezența unei astfel de conexiuni pe exemplul semnalelor periodice.

Funcția de corelație încrucișată, ca orice altă funcție a timpului, poate fi supusă unei transformări Fourier:

Să schimbăm ordinea integrării:

Expresia dintre paranteze pătrate ar putea fi considerată ca transformata Fourier a semnalului y(t), dar nu există semnul minus în exponent. Acest lucru sugerează că integrala interioară ne oferă o expresie care este conjugată complexă a funcției spectrale.

Dar expresia nu depinde de timp, deci poate fi scoasă din semnul integralei exterioare. Atunci integrala exterioară ne va oferi pur și simplu definiția funcției spectrale a semnalului x(t). În sfârșit avem:

Aceasta înseamnă că transformata Fourier pentru funcția de corelație încrucișată a două semnale este egală cu produsul funcțiilor lor spectrale, dintre care una este supusă unei conjugări complexe. Acest produs se numește spectrul încrucișat al semnalelor:

Din expresia obținută rezultă o concluzie importantă: dacă spectrele semnalelor x(t) și y(t) nu se suprapun, adică sunt situate în diferite game de frecvență, atunci astfel de semnale sunt necorelate, independente unele de altele. .

Dacă punem în formulele de mai sus: x(t) = y(t), atunci obținem o expresie pentru transformata Fourier a funcției de autocorelare

Aceasta înseamnă că funcția de autocorelare a semnalului și pătratul modulului funcției sale spectrale sunt legate între ele prin transformarea Fourier.

Funcția este numită spectrul energetic semnal . Spectrul de energie arată modul în care energia totală a unui semnal este distribuită pe frecvențele componentelor sale armonice individuale.

3.4 Caracteristicile energetice ale semnalelor din domeniul frecvenței

Funcția de corelație încrucișată a două semnale este legată de transformata Fourier de spectrul reciproc al semnalelor, deci poate fi exprimată ca transformată Fourier inversă a spectrului încrucișat:

.

Acum să înlocuim valoarea deplasării timpului în acest lanț de egalități. Ca urmare, obținem o relație care determină sensul egalitate rayleigh:

,

adică integrala produsului a două semnale este egală cu integrala produsului spectrelor acestor semnale, dintre care unul este supus unei conjugări complexe.

.

Acest raport se numește egalitate parseval.

Semnalele periodice au energie infinită, dar putere finită. Când le luăm în considerare, am întâlnit deja posibilitatea de a calcula puterea unui semnal periodic prin suma pătratelor modulelor coeficienților spectrului său complex:

.

Această relație are o analogie completă cu egalitatea lui Parseval.

transcriere

1 1 Semnale și sisteme liniare. Corelarea semnalelor Subiectul 6. CORELAREA SEMNALELOR Frica extremă și zelul extrem de curaj deranjează stomacul și provoacă diaree. Michel Montaigne. Jurist-gânditor francez, secolul al XVI-lea. Iată numărul! Două funcții au o corelație de 100% cu a treia și sunt ortogonale între ele. Ei bine, Atotputernicul a făcut glume în timpul creării Lumii. Anatoly Pyshmintsev. Geofizician din Novosibirsk al școlii din Ural, secolul XX. Cuprins 1. Funcţiile de autocorelare ale semnalelor. Conceptul de funcții de autocorelare (ACF). ACF de semnale limitate în timp. ACF de semnale periodice. Funcții de autocovarianță (FAK). ACF de semnale discrete. ACF de semnale zgomotoase. ACF de semnale de cod. 2. Funcții de corelație încrucișată a semnalelor (CCF). Funcția de corelație încrucișată (CCF). Corelația încrucișată a semnalelor zgomotoase. VKF de semnale discrete. Estimarea semnalelor periodice în zgomot. Funcția coeficienților de corelație reciprocă. 3. Densitățile spectrale ale funcțiilor de corelație. Densitatea spectrală a ACF. Interval de corelare a semnalului. Densitatea spectrală a VKF. Calculul funcțiilor de corelare folosind FFT. INTRODUCERE Corelația și cazul său special pentru covarianța semnalelor centrate este o tehnică de analiză a semnalului. Iată una dintre opțiunile de utilizare a metodei. Să presupunem că există un semnal s(t), care poate sau nu conține o secvență x(t) de lungime finită T, a cărei poziție în timp ne interesează. Pentru a căuta această secvență într-o fereastră de timp de lungime T care alunecă de-a lungul semnalului s(t), se calculează produsele scalare ale semnalelor s(t) și x(t). Astfel, „aplicăm” semnalul dorit x(t) semnalului s(t), alunecând de-a lungul argumentului său, iar prin valoarea produsului scalar estimăm gradul de similaritate a semnalelor la punctele de comparație. Analiza corelației face posibilă stabilirea în semnale (sau în seria de date de semnal digital) a prezenței unei anumite relații între modificarea valorilor semnalelor în ceea ce privește variabila independentă, adică atunci când valorile mari ale unui semnal (față de valorile medii ale semnalului) sunt asociate cu valori mari ale altui semnal (corelație pozitivă) sau, dimpotrivă, valorile mici ale unui semnal sunt asociate cu valori mari ale celuilalt (corelație negativă), sau datele celor două semnale nu sunt legate în niciun fel (corelație zero). În spațiul funcțional al semnalelor, acest grad de conexiune poate fi exprimat în unități normalizate ale coeficientului de corelație, adică. în cosinusul unghiului dintre vectorii de semnal și, în consecință, va lua valori de la 1 (coincidență completă a semnalelor) la -1 (complet opus) și nu depinde de valoarea (scara) unităților de măsură . În varianta de autocorelare, folosind o tehnică similară, produsul scalar al semnalului s(t) este determinat cu propria copie alunecând de-a lungul argumentului. Autocorelarea face posibilă evaluarea dependenței statistice medii a eșantioanelor de semnal curente față de valorile lor anterioare și ulterioare (așa-numita rază de corelare a valorilor semnalului), precum și identificarea prezenței elementelor care se repetă periodic în semnal. Metodele de corelare sunt de o importanță deosebită în analiza proceselor aleatoare pentru a identifica componente non-aleatoare și pentru a evalua parametrii non-aleatori ai acestor procese. Rețineți că există o oarecare confuzie în termenii „corelație” și „covarianță”. În literatura de specialitate, termenul de „covarianță” este aplicat funcțiilor centrate, iar „corelație” celor arbitrare. În literatura tehnică, și în special în literatura despre semnale și metode de procesare a semnalului, este adesea folosită terminologia exact opusă. Acest lucru nu are o importanță fundamentală, dar atunci când faceți cunoștință cu sursele literare, merită să acordați atenție scopului acceptat al acestor termeni.FUNȚIILE DE AUTOCORELAȚIE ALE SEMNALELOR. Conceptul de funcții de autocorelare a semnalelor. Funcția de autocorelare (ACF, CF - funcția de corelație) a unui semnal s(t), finit în energie, este o caracteristică integrală cantitativă a formei semnalului, dezvăluind natura și parametrii relației temporale reciproce a probelor din semnal, care are loc întotdeauna pentru semnalele periodice, precum și intervalul și

2 2 penis al dependenței valorilor de citire în momentele curente de timp de preistoria momentului curent. ACF este determinată de integrala produsului a două copii ale semnalului s(t), deplasate una față de cealaltă în timp: B s () = s(t) s(t+) dt = s(t), s( t+) = s(t) s (t+)cos(). (6.1.1) După cum reiese din această expresie, ACF este produsul scalar al semnalului și copia acestuia în dependență funcțională de valoarea variabilă a valorii deplasării. În consecință, ACF are dimensiunea fizică a energiei, iar la = 0 valoarea ACF este direct egală cu energia semnalului și este maximul posibil (cosinusul unghiului de interacțiune a semnalului cu el însuși este egal cu 1): B s (0) = s(t) 2 dt = E s. ACF se referă la funcții pare, care este ușor de verificat prin schimbarea variabilei t = t- în expresia (6.1.1): B s () = s(t-) s(t) dt = B s (-). Maximul ACF, egal cu energia semnalului la =0, ​​este întotdeauna pozitiv, iar modulul ACF nu depășește energia semnalului pentru nicio valoare a deplasării în timp. Acesta din urmă rezultă direct din proprietățile produsului scalar (precum și din inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky): s(t), s(t+) = s(t) s(t+ cos (), cos () = 1 pentru = 0, s(t) , s(t+) = s(t) s(t) = E s, cos ()< 1 при 0, s(t), s(t+) = s(t) s(t+) cos () < E s. Рис В качестве примера на рис приведены два сигнала прямоугольный импульс и радиоимпульс одинаковой длительности Т, и соответствующие данным сигналам формы их АКФ. Амплитуда колебаний радиоимпульса установлена равной T амплитуды прямоугольного импульса, при этом энергии сигналов также будут одинаковыми, что подтверждается равными значениями центральных максимумов АКФ. При конечной длительности импульсов длительности АКФ также конечны, и равны удвоенным значениям длительности импульсов (при сдвиге копии конечного импульса на интервал его длительности как влево, так и вправо, произведение импульса со своей копией становится равным нулю). Частота колебаний АКФ радиоимпульса равна частоте колебаний заполнения радиоимпульса (боковые минимумы и максимумы АКФ возникают каждый раз при последовательных сдвигах копии радиоимпульса на половину периода колебаний его заполнения). С учетом четности, графическое представление АКФ обычно производится только для положительных значений. На практике сигналы обычно задаются на интервале положительных значений аргументов от 0-Т. Знак + в выражении (6.1.1) означает, что при увеличении значений копия сигнала s(t+) сдвигается влево по оси t и уходит за 0. Для цифровых сигналов это требует соответствующего продления данных в область отрицательных значений аргумента. А так как при вычислениях интервал задания обычно много меньше интервала задания сигнала, то более практичным является сдвиг копии сигнала влево по оси аргументов, т.е. применение в выражении (6.1.1) функции s(t-) вместо s(t+).

3 3 B s () = s(t) s(t-) dt. (6.1.1") Pentru semnale finite, pe măsură ce valoarea deplasării crește, suprapunerea temporală a semnalului cu copia sa scade și, în consecință, cosinusul unghiului de interacțiune și produsul scalar în ansamblu tind spre zero: lim Bs (τ) = 0. τ ACF, calculată din valoarea centrată a semnalului s(t), este funcția de autocovarianță a semnalului: C s () = dt, (6.1.2) unde s este valoarea medie a semnalului semnal Funcțiile de covarianță sunt legate de funcțiile de corelație printr-o relație destul de simplă: s () - 2 s. ACF de semnale limitate în timp. În practică, semnalele date la un anumit interval sunt de obicei investigate și analizate. Pentru a compara ACF de semnale date la diferite intervale de timp, o modificare a ACF cu normalizare la lungimea intervalului își găsește aplicație practică, de exemplu, la specificarea unui semnal pe intervalul: B s () = b 1 s(t) s(t+) ) dt (6.1.3) a a ACF poate fi calculată și pentru semnale slab amortizate cu energie infinită, ca valoare medie a produsului scalar al semnalului și a copiilor lui atunci când intervalul de setare a semnalului tinde spre infinit: b T B s () lim s(t) s(t τ) dt T T 1 0. (6.1.4) ACF conform acestor expresii are dimensiunea fizică a puterii și este egală cu semnalul mediu de putere reciprocă și cu copia sa în dependență funcțională de deplasarea copiei. ACF de semnale periodice. Energia semnalelor periodice este infinită, astfel încât ACF-ul semnalelor periodice se calculează pe o perioadă T, făcând media produsului scalar al semnalului și copia sa deplasată în perioada: Expresie mai riguroasă din punct de vedere matematic: B s () lim T s(t) ) s(t - τ) dt T T 1 0 B s () = (1/Т) T s(t) s(t-) dt. (6.1.5) 0 La =0, ​​valoarea ACF normalizată la perioadă este egală cu puterea medie a semnalului în cadrul perioadei. În acest caz, ACF-ul semnalelor periodice este o funcție periodică cu aceeași perioadă T. Deci, pentru semnalul s(t) = A cos(0 t+ 0) la T=2/ 0 avem: ω π/ω0 0 B s () = A cos (0 t+ 0) A cos(0 (t-)+ 0) = (A 2 /2) cos(0). (6.1.6) 2π π/ω 0 Rezultatul obținut nu depinde de faza inițială a semnalului armonic, care este tipică pentru orice semnal periodic și este una dintre proprietățile ACF. Folosind funcțiile de autocorelare, puteți verifica prezența proprietăților periodice în orice semnal arbitrar. Un exemplu de funcție de autocorelare a unui semnal periodic este prezentat în Fig. Funcțiile de autocovarianță (ACV) sunt calculate în mod similar, utilizând valori centrate ale semnalului. O caracteristică remarcabilă a acestor funcții este relația lor simplă cu varianța semnalelor de 2 s (pătratul standardului - abaterea pătratică medie a valorilor semnalului de la valoarea medie). După cum știți, știți.

4 4 valoarea dispersiei este egală cu puterea medie a semnalelor, de unde rezultă: C s () s 2, C s (0) = s 2 s(t) 2. (6.1.7) coeficienți: s () = C s () / C s (0) = C s () / s 2 cos). (6.1.8) Uneori această funcție este numită funcția de autocorelare „adevărată”. Datorită normalizării, valorile sale nu depind de unitățile (scara) de reprezentare a valorilor semnalului s(t) și caracterizează gradul de relație liniară dintre valorile semnalului în funcție de mărimea semnalului. schimbare între mostrele de semnal. Valorile lui s () cos () pot varia de la 1 (corelația directă completă a probelor) la -1 (corelația inversă). Fig. 1 prezintă un exemplu de semnale s() și s1() = s()+zgomot cu coeficienți FAC corespunzători acestor semnale - s și s1. După cum se poate observa pe grafice, FAC a dezvăluit cu încredere prezența fluctuațiilor periodice ale semnalelor. Zgomotul din semnalul s1() a redus amplitudinea oscilațiilor periodice fără a modifica perioada. Aceasta confirmă graficul curbei C s / s1, adică. FAC a semnalului s() cu normalizare (pentru comparație) la valoarea dispersiei semnalului s1(), unde se poate observa clar că impulsurile de zgomot, cu independență statistică completă a probelor lor, au determinat o creștere a valoarea lui C s1 (0) în raport cu valoarea lui C s (0) și oarecum „încețoșată” funcția coeficienților de autocovarianță. Acest lucru se datorează faptului că valoarea s () a semnalelor de zgomot tinde spre 1 la 0 și fluctuează în raport cu zero la 0, în timp ce amplitudinile fluctuațiilor sunt independente statistic și depind de numărul de eșantioane de semnal (ele tind la zero ca numărul de probe crește). ACF de semnale discrete. Cu un interval de eșantionare a datelor t = const, calculul ACF este efectuat pe intervale = t și se scrie de obicei ca o funcție discretă a numerelor n ale deplasării eșantionului n: B s (nt) = t s s -n. (6.1.9) Semnalele discrete sunt date de obicei sub formă de rețele numerice de o anumită lungime cu numerotarea probelor k = 0,1, K la t=1, iar calculul ACF discret în unități de energie se realizează într-un versiunea laterală, ținând cont de lungimea matricelor. Dacă se folosește întreaga matrice de semnal și numărul de eșantioane ACF este egal cu numărul de mostre de matrice, atunci calculul se efectuează după formula: B s (n) = K-n K K n s s -n. (6.1.10) Factorul K/(K-n) în această funcție este un factor de corecție pentru scăderea treptată a numărului de valori înmulțite și însumate pe măsură ce deplasarea n crește. Fără această corecție pentru semnalele necentrate, în valorile ACF apare o tendință de însumare a valorilor medii. Când se măsoară în unități de putere a semnalului, factorul K/(K-n) este înlocuit cu factorul 1/(K-n). Formula (6.1.10) este folosită destul de rar, în principal pentru semnale deterministe cu un număr mic de eșantioane. Pentru semnalele aleatoare și zgomotoase, o scădere a numitorului (K-n) și a numărului de eșantioane multiplicate pe măsură ce deplasarea crește duce la o creștere a fluctuațiilor statistice în calculul ACF. O fiabilitate mai mare în aceste condiții este oferită de calculul ACF în unități de putere a semnalului conform formulei: 0

5 K 5 B s (n) = K 1 s s -n, s -n = 0 la -n< 0, (6.1.11) 0 т.е. с нормированием на постоянный множитель 1/K и с продлением сигнала нулевыми значениями (в левую сторону при сдвигах -n или в правую сторону при использовании сдвигов +n). Эта оценка является смещенной и имеет несколько меньшую дисперсию, чем по формуле (6.1.10). Разницу между нормировками по формулам (6.1.10) и (6.1.11) можно наглядно видеть на рис Рис Формулу (6.1.11) можно рассматривать, как усреднение суммы произведений, т.е. как оценку математического ожидания: B s (n) = M{s s -n } s s. (6.1.12) n Практически, дискретная АКФ имеет такие же свойства, как и непрерывная АКФ. Она также является четной, а ее значение при n = 0 равно энергии или мощности дискретного сигнала в зависимости от нормировки. АКФ зашумленных сигналов. Зашумленный сигнал записывается в виде суммы v() = s()+q(). В общем случае, шум не обязательно должен иметь нулевое среднее значение, и нормированная по мощности автокорреляционная функция цифрового сигнала, содержащая N отсчетов, записывается в следующем виде: B v (n) = (1/N) s()+q(), s(-n)+q(-n) = = (1/N) = = B s (n) + M{s q -n } + M{q s -n } + M{q q -n }. B v (n) = B s (n) + s q n + q s n + q q n. (6.1.13) При статистической независимости полезного сигнала s() и шума q() с учетом разложения математического ожидания M{s q -n } = M{s } M{q -n } = s q может использоваться следующая формула: Рис B v (n) = B s (n) + 2 s q + q. (6.1.13") Пример зашумленного сигнала и его АКФ в сопоставлении с незашумленным сигналом приведен на рис Из формул (6.1.13) следует, что АКФ зашумленного сигнала состоит из АКФ сигнальной компоненты полезного сигнала с наложенной затухающей до значения 2s q + q 2 шумовой функцией. При больших значениях K, когда q 0, имеет место B v (n) B s (n). Это дает возможность не только выделять по АКФ периодические сигналы, практически полностью скрытые в шуме (мощность шумов много больше мощности сигнала), но и с высокой точностью определять их период и форму в пределах периода, а для одночастотных гармонических сигналов и их амплитуду с использованием выражения (6.1.6).

6 Tabelul 6.1. M Semnal Barker Semnal ACF 2 1, -1 2, 1, -1 3, 0, 1, 1, -1 4, 1, 0, -1 1, 1, -1, 1 4, -1, 0, 1 5 1, 1, 1, -1, 1 5, 0, 1, 0, 1 7 1, 1, 1, -1, -1, 1, -1 7, 0, -1, 0, -1, 0 ,1,1,-1,-1,-1,1,-1,-1,1,-1 11,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0, 1,1,1,1,-1,-1,1, 1-1,1,-1,1 13,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0, 1 6 Semnalele de cod sunt un fel de semnale discrete. La un anumit interval al cuvântului de cod Mt, ele pot avea doar două valori de amplitudine: 0 și 1 sau 1 și 1. La extragerea codurilor la un nivel de zgomot semnificativ, forma ACF-ului cuvântului de cod este de o importanță deosebită. Din această poziție, cele mai bune coduri sunt cele ale căror valori ale lobilor laterali ACF sunt minime pe toată lungimea intervalului cuvântului de cod la valoarea maximă a vârfului central. Aceste coduri includ codul Barker prezentat în Tabelul 6.1. După cum se poate observa din tabel, amplitudinea vârfului central al codului este numeric egală cu valoarea lui M, în timp ce amplitudinea oscilațiilor laterale la n 0 nu depășește FUNCȚIILE DE CORELARE RECIPROCĂ A SEMNALELOR. Funcția de corelație încrucișată (CCF) a diferitelor semnale descrie atât gradul de similitudine a formei a două semnale, cât și poziția relativă a acestora unul față de celălalt de-a lungul coordonatei (variabilă independentă). Generalizând formula (6.1.1) a funcției de autocorelare la două semnale diferite s(t) și u(t), obținem următorul produs scalar al semnalelor: B su () = s(t) u(t+) dt. (6.2.1) Corelația reciprocă a semnalelor caracterizează o anumită corelare a fenomenelor și proceselor fizice afișate de aceste semnale și poate servi ca măsură a stabilității acestei relații cu procesarea separată a semnalului în diferite dispozitive. Pentru semnalele finite în energie, CCF este, de asemenea, finit, în timp ce: B su () s(t) u(t), care rezultă din inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky și independența normelor de semnal de deplasarea coordonatelor. La modificarea variabilei t = t- în formula (6.2.1), se obține: B su () = s(t-) u(t) dt = u(t) s(t-) dt = B us (- ). Fig Semnale și VKF. Rezultă că CCF nu îndeplinește condiția de paritate, B su () B su (-), iar valorile CCF nu trebuie să aibă un maxim la = 0. Acest lucru poate fi văzut clar în figură, unde sunt date două semnale identice cu centrele în punctele 0,5 și 1,5. Calculul prin formula (6.2.1) cu o creștere treptată a valorilor înseamnă deplasări succesive ale semnalului s2(t) spre stânga de-a lungul axei timpului (pentru fiecare valoare a lui s1(t), valorile lui s2( t+) sunt luate pentru înmulțirea integranților). La =0, ​​semnalele sunt ortogonale iar valoarea lui B 12 ()=0. Maximul B12() va fi observat atunci când semnalul s2(t) este deplasat la stânga cu valoarea =1, la care semnalele s1(t) și s2(t+) sunt complet combinate. Aceleași valori CCF conform formulelor (6.2.1) și (6.2.1") sunt observate la aceeași poziție reciprocă a semnalelor: când intervalul semnalului u(t) este deplasat față de s(t) la dreapta de-a lungul axei y și semnalul s(t) în raport cu semnalul u(t) la stânga, adică B su () = B us (-

7 7 Figura prezintă exemple de CCF pentru un semnal dreptunghiular s(t) și două semnale triunghiulare identice u(t) și v(t). Toate semnalele au aceeași durată T, în timp ce semnalul v(t) este deplasat înainte cu intervalul T/2. Semnalele s(t) și u(t) sunt aceleași în ceea ce privește locația în timp și zona de „suprapunere” a semnalului este maximă la =0, ​​ceea ce este prezentat în Fig. Funcții de covarianță reciprocă ale semnalelor. si este fixat de functia B su. În același timp, funcția B su este puternic asimetrică, deoarece cu o formă asimetrică a semnalului u(t) pentru o formă simetrică s(t) (față de centrul semnalelor), aria de „suprapunere” a semnalului variază diferit în funcție de pe sensul deplasării (semn pe măsură ce valoarea crește de la zero). Când poziția inițială a semnalului u(t) este deplasată la stânga de-a lungul axei ordonatelor (înaintea semnalului s(t) - semnalul v(t)), forma VKF rămâne neschimbată și se deplasează la dreapta cu aceeași valoare de deplasare, funcția B sv din Fig. Dacă schimbăm expresiile funcțiilor din (6.2.1), atunci noua funcție B vs va fi funcția B sv oglindită în raport cu =0. Luând în considerare aceste caracteristici, CCF totală se calculează, de regulă, separat pentru întârzieri pozitive și negative: B su () = s(t) u(t+) dt. B us () = u(t) s(t+) dt. (6.2.1") Corelația încrucișată a semnalelor zgomotoase. Pentru două semnale zgomotoase, u(t) = s1(t)+q1(t) și v(t) = s2(t)+q2(t), aplicând tehnica de derivare a formulei ( 6.1.13) cu înlocuirea unei copii a semnalului s(t) cu semnalul s2(t), este ușor să se obțină formula de corelație încrucișată în următoarea formă: B uv () = B s1s2 () + B s1q2 () + B q1s2 () + B q1q2 (6.2.2) Ultimii trei termeni din partea dreaptă a (6.2.2) scade la zero pe măsură ce cresc În cazul setării semnalului mare intervale, expresia poate fi scrisă sub următoarea formă: B uv () = B s1s2 () + s1( ) q2() + q1() s2() + q1() q2().(6.2.3) La zero valori medii ale zgomotului și independența statistică a semnalelor, au loc următoarele: B uv () B s1s2 (). Toate proprietățile CCF ale semnalelor analogice sunt valabile și pentru CCF ale semnalelor discrete, în timp ce caracteristicile semnalelor discrete descrise mai sus pentru ACF-uri (formule) discrete sunt valabile și pentru acestea.În special, la t = const =1 pentru semnalele x() și y() numărul de eșantioane K: B xy (n) = Când este normalizat în unități de putere: K K n K K-n 0 x y -n. (6.2.4) B xy (n) = K 1 x y -n x y n. (6.2.5) 0 Estimarea semnalelor periodice în zgomot. Un semnal zgomotos poate fi evaluat pentru corelare încrucișată cu un semnal de „referință” prin încercare și eroare, cu funcția de corelare încrucișată ajustată la valoarea sa maximă. Pentru un semnal u()=s()+q() cu independență statistică a zgomotului și q 0, funcția de corelație încrucișată (6.2.2) cu șablonul de semnal p() pentru q2()=0 ia forma : B sus () = B sp () + B qp () = B sp () + q p. Și deoarece q 0 pe măsură ce N crește, atunci B sus () B sp (). Evident, funcția B up() va avea un maxim atunci când p() = s(). Schimbând forma șablonului p() și maximizând funcția B sus (), putem obține o estimare a lui s() sub forma formei optime a lui p(). Funcția coeficientului de corelație încrucișată (CCF) este un indicator cantitativ al gradului de similitudine a semnalelor s(t) și u(t). În mod similar, funcția coeficienților de autocorelație

8 8 eficienți, se calculează prin valorile centrate ale funcțiilor (pentru a calcula covarianța reciprocă, este suficient să se centreze doar una dintre funcții) și este normalizat la produsul valorilor standardelor de funcțiile s(t) și v(t): su () = C su ()/ s v. (6.2.6) Intervalul de modificare a valorilor coeficienților de corelație în timpul schimburilor poate varia de la 1 (corelație inversă completă) la 1 (asemănare completă sau corelație sută la sută). La deplasările la care se observă valori zero ale lui su (), semnalele sunt independente unele de altele (necorelate). Coeficientul de corelație încrucișată vă permite să stabiliți prezența unei conexiuni între semnale, indiferent de proprietățile fizice ale semnalelor și de magnitudinea acestora. La calcularea CCF a semnalelor discrete zgomotoase de lungime limitată folosind formula (6.2.4), există o probabilitate de apariție a valorilor su (n) > 1. Pentru semnalele periodice, conceptul CCF nu este de obicei utilizat, cu excepția pentru semnale cu aceeași perioadă, de exemplu, semnale de intrare și de ieșire la studierea caracteristicilor sistemelor DENSITĂȚI SPECTRALE ALE FUNCȚILOR DE CORELARE . Densitatea spectrală a ACF poate fi determinată din următoarele considerații simple. În conformitate cu expresia (6.1.1), ACF este o funcție a produsului scalar al semnalului și copiei acestuia, deplasat cu un interval la -< < : B s () = s(t), s(t-). Скалярное произведение может быть определено через спектральные плотности сигнала и его копии, произведение которых представляет собой спектральную плотность взаимной мощности: s(t), s(t-) = (1/2) S() S *() d Смещение сигнала по оси абсцисс на интервал отображается в спектральном представлении умножением спектра сигнала на exp(-j), а для сопряженного спектра на множитель exp(j): S *() = S*() exp(j). С учетом этого получаем: s ()= (1/2) S() S*() exp(j) d = (1/2) S() 2 exp(j) d (6.3.1) Но последнее выражение представляет собой обратное преобразование Фурье энергетического спектра сигнала (спектральной плотности энергии). Следовательно, энергетический спектр сигнала и его автокорреляционная функция связаны преобразованием Фурье: B s () S() 2 = W s (). (6.3.2) Таким образом, спектральная плотность АКФ есть не что иное, как спектральная плотность мощности сигнала, которая, в свою очередь, может определяться прямым преобразованием Фурье через АКФ: S() 2 = B s () exp(-j) d. (6.3.3) Последние выражение накладывает определенные ограничения на форму АКФ и методику их ограничения по длительности. Энергетический спектр сигналов всегда положителен, мощность сигналов не может быть отрицательной. Следовательно, АКФ не может иметь формы прямоугольного импульса, т.к. преобразование Фурье прямоугольного импульса знакопеременный интегральный синус. На АКФ не должно быть и разрывов Рис Спектр несуществующей АКФ первого рода (скачков), т.к. с учетом четности АКФ любой симметричный скачек по координате по-

9 9 dă naștere împărțirii ACF în suma unei anumite funcții continue și a unui impuls dreptunghiular cu o durată de 2, cu apariția corespunzătoare a valorilor negative în spectrul energetic. Un exemplu al acestuia din urmă este prezentat în figură (graficele funcțiilor sunt prezentate, așa cum este obișnuit pentru funcțiile pare, doar cu partea dreaptă). ACF-urile semnalelor suficient de extinse sunt de obicei limitate ca dimensiune (sunt studiate intervale limitate de corelare a datelor de la T/2 la T/2). Cu toate acestea, trunchierea ACF este înmulțirea ACF cu un impuls de selecție dreptunghiular de durata T, care în domeniul frecvenței este afișat prin convoluția spectrului de putere real cu o funcție sinus integrală cu variabilă semn sinc(t/2) . Pe de o parte, acest lucru determină o anumită netezire a spectrului de putere, care este adesea utilă, de exemplu, atunci când se studiază semnale la un nivel de zgomot semnificativ. Dar, pe de altă parte, o subestimare semnificativă a mărimii vârfurilor de energie poate apărea și în cazul în care semnalul conține componente armonice, precum și apariția unor valori negative de putere la părțile de margine ale vârfurilor și sărituri. Un exemplu de manifestare a acestor factori este prezentat în Fig. Fig. Calculul spectrului de energie al unui semnal de la ACF de diferite lungimi. După cum se știe, spectrele de putere ale semnalelor nu au o caracteristică de fază și este imposibil să se restabilească semnalele de la acestea. În consecință, ACF-ul semnalelor, ca reprezentare temporală a spectrelor de putere, nu are nicio informație despre caracteristicile de fază ale semnalelor și este imposibil să se restabilească semnalele din ACF. Semnalele de aceeași formă, deplasate în timp, au același ACF. Mai mult, semnalele de diferite forme pot avea ACF similare dacă au spectre de putere apropiate. Să rescriem ecuația (6.3.1) în următoarea formă s(t) s(t-) dt = (1/2) S() S*() exp(j) d, și înlocuim valoarea =0 în aceasta expresie. Egalitatea rezultată este bine cunoscută și se numește egalitatea lui Parseval s 2 (t) dt = (1/2) S() 2 d. Vă permite să calculați energia semnalului, atât în ​​domeniul timpului, cât și al frecvenței descrierii semnalelor. Intervalul de corelare a semnalului este un parametru numeric pentru estimarea lățimii ACF și a gradului de corelare semnificativă a valorilor semnalului prin argument. Presupunând că semnalul s(t) are un spectru energetic aproximativ uniform cu o valoare de W 0 și cu o frecvență de tăiere superioară până la b (forma unui impuls dreptunghiular centrat, cum ar fi semnalul 1 din Fig cu f b =50 Hz în reprezentare unilaterală), atunci ACF-ul semnalului este determinat de expresia: Fig ω B s () = (W o /) la 0 cos() d = (Wo la /) sin(c)/( c). Intervalul de corelare a semnalului k este considerat a fi lățimea vârfului central ACF de la

10 10 maxim înainte de prima trecere a liniei zero. În acest caz, pentru un spectru dreptunghiular cu o frecvență de tăiere superioară, prima trecere cu zero corespunde cu sinc(v) = 0 la v =, de unde: k = / v = 1/2f v. (6.3.4) Cu cât intervalul de corelație este mai scurt, cu atât frecvența limită superioară a spectrului de semnal este mai mare. Pentru semnalele cu o tăietură netedă de-a lungul frecvenței superioare de tăiere, rolul parametrului în este jucat de lățimea medie a spectrului (semnalul 2 în Fig. 1). Densitatea spectrală de putere a zgomotului statistic într-o singură măsurătoare este o funcție aleatoare W q () cu o valoare medie de W q () q 2, unde q 2 este varianța zgomotului. În limită, cu o distribuție spectrală uniformă a zgomotului de la 0 la, zgomotul ACF tinde spre valoarea B q () q 2 la 0, B q () 0 la 0, i.e. zgomotul statistic este necorelat (spre 0). Calculele practice ale ACF ale semnalelor finite sunt de obicei limitate la intervalul de deplasări = (0, (3-5) ), în care, de regulă, se concentrează principalele informații despre autocorelarea semnalelor. Densitatea spectrală a CCF poate fi obținută pe baza acelorași considerații ca și pentru ROS, sau direct din formula (6.3.1) prin înlocuirea densității spectrale a semnalului S() cu densitatea spectrală a celui de-al doilea semnal U() : su ()= (1/2 ) S*() U() exp(j) d (6.3.5) Sau, la schimbarea ordinii semnalului: us ()= (1/2) U*() S( ) exp(j) d (6.3.5 ") Produsul S*()U() este spectrul de energie reciprocă W su () al semnalelor s(t) și u(t). În consecință, U*()S () = W us (). Prin urmare, ca și ACF , funcția de corelație încrucișată și densitatea spectrală a puterii reciproce a semnalelor sunt legate prin transformate Fourier: B su () W su () W* us (6.3. 6) Bus () W us () W* su () (6.3) .6") În cazul general, cu excepția spectrelor funcțiilor pare, din condiția de nerespectare a parității pentru funcțiile VKF rezultă că spectrele de energie reciprocă sunt funcții complexe: U() = A u () + j B u (), V() = A v () + j B v (). W uv = A u A v +B u B v +j(b u A v - A u B v) = Re W uv (w) + j Im W uv (), și conțin o anumită fază caracteristică componentelor armonice ale VKF, care și o deplasare a maximului VKF se formează. În Fig. se pot vedea clar caracteristicile formării VKF pe exemplul a două semnale de aceeași formă, deplasate unul față de celălalt. Formarea figului de VKF. Forma semnalelor și dispunerea lor reciprocă sunt prezentate în imaginea A. Modulul și argumentul spectrului de semnal s(t) sunt prezentate în vederea B. Modulul spectrului u(t) este identic cu modulul S() . Aceeași vedere arată modulul spectrului de putere reciprocă a semnalului S()U*(). După cum se știe, atunci când se înmulțesc spectre complexe, se înmulțesc modulele spectrelor și se adaugă unghiurile de fază, în timp ce pentru spectrul conjugat U*() unghiul de fază își schimbă semnul. Dacă primul în formă-

11 11 După calcularea VCF (6.2.1) există un semnal s (t), iar semnalul u (t-) pe axa y este înaintea lui s (t), apoi unghiurile de fază S () cresc pe măsură ce frecvența crește spre valori negative ale unghiurilor (fără a lua în considerare resetarea periodică a valorilor cu 2), iar unghiurile de fază U*() în valori absolute sunt mai mici decât unghiurile de fază s(t) și crește (datorită conjugării) spre valori pozitive. Rezultatul înmulțirii spectrelor (așa cum se vede în Fig. C) este scăderea valorilor unghiurilor U*() din unghiurile de fază S(), în timp ce unghiurile de fază ale spectrului S()U *() rămân în regiunea valorilor negative, ceea ce asigură o deplasare a întregii funcții VKF (și a valorilor sale de vârf) la dreapta de la zero de-a lungul axei cu o anumită cantitate (pentru semnale identice, prin diferența dintre semnale de-a lungul axei ordonatelor). Când poziția inițială a semnalului u(t) este deplasată către semnalul s(t), unghiurile de fază S()U*() scad, în limită, la valori zero cu alinierea completă a semnalelor, în timp ce funcția B su (t) este deplasată la valori zero, în limita înainte de conversia la ACF (pentru semnale identice s(t) și u(t)). După cum se știe pentru semnalele deterministe, dacă spectrele a două semnale nu se suprapun și, în consecință, energia reciprocă a semnalelor este egală cu zero, astfel de semnale sunt ortogonale unul față de celălalt. Relația dintre spectrele de energie și funcțiile de corelare ale semnalelor arată o altă latură a interacțiunii semnalelor. Dacă spectrele semnalului nu se suprapun și spectrul lor de energie reciprocă este egal cu zero la toate frecvențele, atunci pentru orice deplasare de timp unul față de celălalt, CCF lor este, de asemenea, egal cu zero. Aceasta înseamnă că astfel de semnale sunt necorelate. Acest lucru este valabil atât pentru semnale și procese deterministe, cât și aleatorii. Calculul funcțiilor de corelare folosind FFT este, în special pentru serii numerice lungi, de zeci și sute de ori mai rapid decât deplasările succesive în domeniul timpului la intervale mari de corelare. Esența metodei rezultă din formulele (6.3.2) pentru ACF și (6.3.6) pentru VKF. Având în vedere că ACF poate fi considerat un caz special al CCF pentru același semnal, vom lua în considerare procesul de calcul folosind exemplul CCF pentru semnalele x() și y() cu numărul de mostre K. Acesta include : 1. Calculul FFT al spectrelor semnalelor x() X () și y() Y(). Pentru un număr diferit de mostre, rândul mai scurt este umplut cu zerouri la dimensiunea rândului mai mare. 2. Calculul spectrelor de densitate de putere W xy () = X*() Y(). 3. FFT inversă W xy () B xy (). Remarcăm câteva caracteristici ale metodei. Cu FFT inversă, după cum se știe, se calculează convoluția ciclică a funcțiilor x() 3 y(). Dacă numărul de citiri ale funcțiilor este egal cu K, numărul de citiri complexe ale spectrelor de funcții este, de asemenea, egal cu K, precum și numărul de citiri ale produsului lor W xy (). În consecință, numărul de eșantioane B xy () cu FFT inversă este, de asemenea, egal cu K și se repetă ciclic cu o perioadă egală cu K. Între timp, cu o convoluție liniară a rețelelor complete de semnale conform formulei (6.2.5) , dimensiunea doar a unei jumătăți din VKF este K puncte, iar dimensiunea completă a duplexului este de 2K puncte. În consecință, cu FFT inversă, ținând cont de ciclicitatea convoluției, perioada principală a VKF va fi suprapusă cu perioadele sale laterale, ca în cazul convoluției ciclice obișnuite a două funcții. Figura prezintă un exemplu de două semnale și valori Figura B1 convoluție liniară, B2 FFT fără extensie de semnal cu zerouri, B3 FFT cu extensie de semnal cu zerouri. CCF calculat prin convoluție liniară (B1xy) și convoluție ciclică prin FFT (B2xy). Pentru a elimina efectul suprapunerii perioadelor laterale, este necesară completarea semnalelor cu zerouri, în limită, până la dublarea numărului de probe, în timp ce rezultatul FFT (graficul B3xy din Figura 6.3.5) repetă complet rezultatul liniarului. convoluție (ținând cont de normalizare pentru a crește numărul de probe). În practică, numărul de zerouri de extensie a semnalului depinde de natura funcției de corelare. Numărul minim de zerouri este de obicei luat egal cu partea de informații semnificative a funcțiilor, adică ordinea (3-5) intervale de corelare.

12 12 p. REFERINȚE 1. Baskakov S.I. Circuite și semnale de inginerie radio Manual pentru licee. - M. Higher School, Otnes R., Enokson L. Applied Time Series Analysis. M.: Mir, p. 25. Sergienko A.B. Procesare digitală a semnalului. / Manual pentru universități. Sankt Petersburg: Petru, p. 33. Ayficher E., Jervis B. Procesarea digitală a semnalului. Abordare practică. / M., „Williams”, 2004, 992 Site-ul autorului ~ Prelegeri ~ Practicum

Partea 5 METODE DE DETERMINARE A FUNCȚIEI DE DENSITATE SPECTRALĂ Funcțiile de densitate spectrală pot fi definite în trei moduri echivalente diferite, care vor fi discutate în următoarele secțiuni:

Curs 6 CIRCUITURI DE CURENTUL PERIODIC NESINUSOIDAL Plan Forma trigonometrică a seriei Fourier Seria Fourier în formă complexă Spectru de frecvență complex 3 Puteri în circuite de curent nesinusoidal Coeficienți,

3 INTRODUCERE Procesele fizice luate în considerare în problemele de inginerie sunt descrise, în majoritatea cazurilor, prin funcţii de timp, numite realizări de proces. Există fenomene fizice, comportament viitor

43 Cursul 4 CIRCUITURI DE CURENT PERIODIC NESINUSOIDAL Forma trigonometrică a seriei Fourier Forma complexă a seriei Fourier 3 Coeficienți care caracterizează funcțiile periodice nesinusoidale 4 Concluzie

Universitatea Electrotehnică de Stat din Sankt Petersburg „LETI” Departamentul Fundamentelor Teoretice ale Ingineriei Radio PROCESAREA SEMNALULUI DIGITAL Tema 1 Semnale discrete A. B. Sergienko, 216 Discrete

7. Unele sisteme de bază din l În sistemele cu timp discret, un loc important îl ocupă semnalele discrete definite pe intervale finite. Astfel de semnale sunt vectori -dimensionali în spațiu

43 Cursul 6 CIRCUITURI DE CURENT PERIODIC NESINUSOIDAL Forma trigonometrică a seriei Fourier Forma complexă a seriei Fourier 3 Coeficienți care caracterizează funcțiile periodice nesinusoidale 4 Concluzie

CUPRINS Seria Fourier 4 Conceptul de funcție periodică 4 Polinom trigonometric 6 3 Sisteme ortogonale de funcții 4 Seria Fourier trigonometrică 3 5 Seria Fourier pentru funcții pare și impare 6 6 Descompunere

3 Curs 4 CIRCUITURI DE CURENT PERIODIC NESINUSOIDAL Plan Forma trigonometrică a seriei Fourier Forma complexă a seriei Fourier 3 Coeficienți care caracterizează funcțiile periodice nesinusoidale 4 Concluzii

Cursul 4.9. Sisteme de variabile aleatorii. Funcția de distribuție a unui sistem de două variabile aleatoare (SRES). Proprietățile funcției 6.4. Sisteme de variabile aleatoare În practică, există adesea probleme care sunt descrise

Semestrul de toamnă al anului universitar Tema 3 ANALIZA ARMONICĂ A SEMNALELOR NEPERIODICE Transformate Fourier directe și inverse Caracteristica spectrală a semnalului Spectre amplitudine-frecvență și fază-frecvență

Lucrări de laborator 4 STUDIUL COMPOZIȚIEI SPECTRALE A OSCILAȚIILOR PERIODICE NESINUSOIDALE 4 Forma trigonometrică a seriei Fourier Dacă funcția periodică nesinusoidală îndeplinește condițiile Dirichlet,

Prelegere Seria numerică Semne de convergență Seria de numere Semne de convergență O expresie infinită a unei secvențe numerice + + + +, compusă din membri ai unuia infinit, se numește serie numerică

Prelegere Tema acului. Definirea si clasificarea semnalelor In aparatele radio se produc procese electrice care au un caracter specific. Pentru a înțelege această specificitate, ar trebui mai întâi

Www.vntr.ru 6 (34), www.ntgcom.com Institutul Central de Aviație Hanyang

Tema 3 ANALIZA ARMONICĂ A SEMNALELOR NEPERIODICE Transformate Fourier directe și inverse Răspunsul spectral al semnalului Spectre amplitudine-frecvență și fază-frecvență Caracteristici spectrale

54 Cursul 5 TRANSFORMA FOURIER SI METODA SPECTRALA DE ANALIZA CIRCUITURILOR ELECTRICE Plan Spectre ale functiilor aperiodice si transformata Fourier Unele proprietati ale transformatei Fourier 3 Metoda spectrala

4.4. Analiza spectrală a celor mai simple oscilații. Impuls dreptunghiular / / d, / s, / sin sin Densitatea spectrală a unui singur impuls coincide cu anvelopa liniilor spectrale ale secvenței periodice

1. Caracteristicile de bază ale semnalelor deterministe În inginerie, termenul „semnal” înseamnă o valoare care reflectă într-un fel starea unui sistem fizic. În inginerie radio, un semnal este numit

Curs 8 33 SISTEME STATIONARE UNIDIMENSIONALE APLICAREA TRANSFORMĂRII FOURIER 33 Descrierea semnalelor și sistemelor Descrierea semnalelor Pentru a descrie semnalele deterministe se utilizează transformata Fourier:

Analiza spectrală a secvențelor aleatoare prin metoda DFT În măsurătorile spectrale ale semnalelor aleatorii, scopul principal este determinarea densității spectrale de putere (PSD) (Anexă, p.4).

Materiale metodologice exemple de bilete din Republica Kârgâză și variante ale RGR la cursul „Metode matematice de procesare a semnalului digital” Controlul frontierei 1 1. Extinde vectorul (,1, 1 în vectori 1) (1,2,1), (,2,3) 1,

UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE STAT DE AVIIAȚIE CIVILĂ MOSCOVA

54 Cursul 5 Transformată Fourier ȘI METODĂ SPECTRĂ DE ANALIZA CIRCUITURILOR ELECTRICE Plan Spectre ale funcțiilor aperiodice și transformată Fourier 2 Câteva proprietăți ale transformării Fourier 3 Metoda spectrală

Curs FUNCȚIA CARACTERISTICĂ SCOPUL PRELEGIEI: construirea unei metode de liniarizare a funcțiilor variabilelor aleatoare; introduceți conceptul de variabilă aleatoare complexă și obțineți caracteristicile sale numerice; determina caracteristica

Transformată Fourier în optică În matematică, se demonstrează că o funcție periodică () cu perioada T care îndeplinește anumite cerințe poate fi reprezentată printr-o serie Fourier: a a cos n b sn n, unde / n, a

4. Analiza circuitelor sub efecte nearmonice. Aproape orice oscilație reală poate fi descompusă într-un set de oscilații armonice. Conform principiului suprapunerii, acțiunea fiecărei armonice

FGBOU VPO „Universitatea Tehnică de Stat din Omsk” SECȚIUNEA II SISTEME DE CONTROL AUTOMAT LINEAR CONTINU Cursul 4. LEGĂTURILE DINAMICE. CONCEPTE GENERALE, CARACTERISTICI DE TIMP ȘI FRECVENȚĂ

Variabilele hiperaleatoare scalare 4 PARTEA I FUNDAMENTELE TEORIEI CAPITOLUL EVENIMENTE ȘI VALORI HIPERALEATORII Sunt introduse conceptele de eveniment hiperaleator și variabilă hiperaleatorie. Au fost propuși o serie de caracteristici și parametri

Sarcina 1. Definiți datele inițiale: Intervalul de expansiune este [-τ/2;τ/2]. Numărul de coeficienți spectrale n=5. Amplitudinea semnalului: Semnal de intrare: Fig. 1. Linia temporală a semnalului. 1 1. Notează formulele

43 Cursul 5 TRANSFORMA FOURIER SI METODA SPECTRALA DE ANALIZA CIRCUITURILOR ELECTRICE Plan Spectre ale functiilor aperiodice si transformata Fourier Unele proprietati ale transformatei Fourier 3 Metoda spectrala

3.4. CARACTERISTICI STATISTICE ALE VALORILOR SELECTATE ALE MODELELOR DE PREDICȚIE Până în prezent, am avut în vedere metode de construire a modelelor predictive ale proceselor staționare, fără a ține cont de o caracteristică foarte importantă.

PRELEȚIE Mesaje, semnale, interferență ca fenomene aleatorii Variabile aleatoare, vectori și procese 4 SEMNALE ȘI INTERFERENȚE ÎN RTS CA FENOMENE ALEATORII După cum sa menționat deja mai sus, principala problemă a teoriei RTS este

Transformată Fourier în optică În matematică, se demonstrează că orice funcție periodică () cu perioada T poate fi reprezentată printr-o serie Fourier: a a cos b s unde / a cos d b s d / / a și b sunt coeficienții seriei Fourier

Reprezentarea spectrală a semnalelor Candidat la științe fizice și matematice, profesor asociat Universitatea de Stat din Moscova Facultatea CMC Departamentul de Metode matematice de prognoză Reprezentarea spectrală a semnalelor Cursul 4 Moscova,

Radiofizică statistică și teoria informației Cursul 1. 14. Sinteza unui filtru potrivit. Considerăm un sistem liniar a cărui intrare este un amestec aditiv de semnal util s t și zgomot n t: t =

Cursul 5. 8.3. ANALIZA AUTOOSCILAȚILOR PRIN METODA LINEARIZĂRII ARMONICE 8.3.. Enunțarea problemei Se consideră un sistem închis cu un element neliniar. F W s x Învățarea liberei mișcări

Capitolul 4. Transformată Fourier discretă 4.. Seria Fourier în timp-discretă (DTFS) Pentru un semnal xt () periodic cu o perioadă, seria Fourier va conține în general un număr infinit de termeni:

Curs CARACTERISTICI NUMERICE ALE UNUI SISTEM DE DOUĂ VARIABILE ALEATORII - VECTOR ALEATOR DIMENSIONAL SCOPUL PRELEGIEI: de a determina caracteristicile numerice ale unui sistem de două variabile aleatoare: momentele inițiale și centrale, covarianța

Procesare digitală a semnalului; prelegere 7 martie 07 MIPT Z-transform este una dintre metodele matematice dezvoltate special pentru analiza și proiectarea sistemelor discrete și digitale 45 Linear

Lucrări de laborator 7 Analiza spectrală digitală: metode de periodogramă și corelogramă Scopul lucrării: studierea modalităților de implementare software în sistemul MATLAB a variantelor clasice ale spectrului digital.

5 UDC 656.5, 6.39.8 A. V. VOLYNSKAYA CARACTERISTICI ALE CONVERSIEI SEMNALELOR DISCRETE ÎN CANALE DE TRANSMISIE DE INFORMAȚII DIGITALE Se arată că, cu o alegere arbitrară a valorilor de semnal discret (de exemplu, cu

Proiectarea funcțiilor de fereastră (continuare în secțiunea 4) Alegerea unei funcții de fereastră este importantă pentru obținerea estimărilor parametrilor semnalului studiat în prezența zgomotului fluctuant. La detectarea semnalelor cu un mare

Partea a 4-a EXPANSIUNI SPECTRALE ALE PROCESELOR ALEATORII 41 Integrale Fourier-Stieltjes Integrala Stieltjes este folosită pentru expansiunile spectrale ale funcțiilor aleatoare, prin urmare, prezentăm definiția și câteva proprietăți

Cursul 11 ​​Recepția mesajelor continue. Criterii de imunitate la zgomot Un mesaj în cazul general este un anumit proces continuu bt, care poate fi considerat ca o realizare a unei aleatorii generale.

MODELE STATISTICE ALE FENOMENELOR ALEATORII Variabile aleatoare Funcții de distribuție a probabilității variabilelor aleatoare Cel mai simplu model al unui experiment fizic este o succesiune de experimente independente (teste

LECTURA. Estimarea amplitudinii complexe a semnalului. Estimarea timpului de întârziere a semnalului. Estimarea frecvenței unui semnal cu o fază aleatorie. Estimarea comună a timpului de întârziere și a frecvenței unui semnal cu o fază aleatorie.

3 Procese aleatorii în sistemele automate de control 3 Introducere Sistemele în care semnalele sunt caracterizate prin funcții și procese aleatorii se numesc sisteme cu semnale aleatoare sau stocastice

Capitolul 8 Funcții și grafice Variabile și dependențe între ele. Două mărimi și sunt numite direct proporționale dacă raportul lor este constant, adică dacă =, unde este un număr constant care nu se modifică odată cu modificarea

Instituția bugetară educațională de stat federală de învățământ profesional superior Universitatea de stat de telecomunicații și informatică din Volga Departamentul de SARS Atribuire și metodologie

Cursul 10. Algoritmul lui Schrödinger pentru determinarea termenilor și orbitalilor stărilor staționare

INSTRUCȚIUNI METODOLOGICE PENTRU STUDIAREA DISCIPLINEI „PROCESE ALEATORII ÎN INGINERIA RADIO” PENTRU ELEVII GRUPULUI VDBV-6-14 Referințe 1. Analiza statistică și sinteza dispozitivelor și sistemelor de inginerie radio:

Subiectul 8 SISTEME LINEARE DISCRETE Conceptul de sistem discret Metode de descriere a sistemelor discrete liniare: ecuație de diferență, funcție de transfer, răspuns la impuls, funcție de transfer de frecvență

Curs 6 ( p. 358-36) Transformată Fourier discretă (DFT) Transformată Z directă Definiția transformării Fourier discrete directe și inverse Luați în considerare algoritmul de calcul al transformării Fourier

Opțiunea 8 Aflați domeniul funcției: y sin Domeniul funcției date este determinat de două inegalități: și sin Din a doua inegalitate rezultă că inegalitatea k π k+ trebuie satisfăcută

Analiza și sinteza spectrală Audio și video digital Cursul 2 2 Analiza și sinteza Fourier Procesul de descompunere a unui semnal periodic complex în componente armonice simple se numește analiză Fourier sau

Corelația - o operație matematică, similară cu convoluția, vă permite să obțineți un al treilea semnal de la două semnale. Se întâmplă: autocorelație (funcția de autocorelare), corelația încrucișată (funcția de corelație încrucișată, funcția de corelație încrucișată). Exemplu:

[Funcția de corelație încrucișată]

[Funcția de autocorelare]

Corelația este o tehnică de detectare a semnalelor precunoscute pe un fundal de zgomot, numită și filtrare optimă. Deși corelația este foarte asemănătoare cu convoluția, acestea sunt calculate diferit. Domeniile lor de aplicare sunt și ele diferite (c(t)=a(t)*b(t) - convoluția a două funcții, d(t)=a(t)*b(-t) - corelație încrucișată).

Corelația este aceeași convoluție, doar unul dintre semnale este inversat de la stânga la dreapta. Autocorelația (funcția de autocorelare) caracterizează gradul de conexiune dintre semnal și copia acestuia deplasat cu τ. Funcția de corelare încrucișată caracterizează gradul de conexiune între 2 semnale diferite.

Proprietățile funcției de autocorelare:

• 1) R(τ)=R(-τ). Funcția R(τ) este pară.
• 2) Dacă x(t) este o funcție sinusoidală a timpului, atunci funcția sa de autocorelare este o funcție cosinus de aceeași frecvență. Informațiile despre faza inițială se pierd. Dacă x(t)=A*sin(ωt+φ), atunci R(τ)=A 2 /2 * cos(ωτ).
• 3) Funcția de autocorelare și spectrul de putere sunt legate de transformata Fourier.
• 4) Dacă x(t) este orice funcție periodică, atunci R(τ) pentru aceasta poate fi reprezentată ca o sumă de funcții de autocorelare dintr-o componentă constantă și dintr-o componentă care se schimbă sinusoid.
• 5) Funcția R(τ) nu poartă nicio informație despre fazele inițiale ale componentelor armonice ale semnalului.
• 6) Pentru o funcție aleatoare a timpului, R(τ) scade rapid odată cu creșterea lui τ. Intervalul de timp după care R(τ) devine egal cu 0 se numește interval de autocorelație.
• 7) Un dat x(t) corespunde unui R(τ) bine definit, dar pentru același R(τ) pot corespunde diferite funcții x(t)

Semnal original cu zgomot:

Funcția de autocorelare a semnalului original:

Proprietățile funcției de corelație încrucișată (CCF):

• 1) VKF nu este nici o funcție pară, nici impară, adică R xy (τ) nu este egal cu R xy (-τ).
• 2) VKF rămâne neschimbat atunci când se schimbă alternanța funcțiilor și semnul argumentului se schimbă, i.e. Rxy (τ)=Rxy (-τ).
• 3) Dacă funcțiile aleatoare x(t) și y(t) nu conțin componente constante și sunt create de surse independente, atunci R xy (τ) tinde spre 0. Astfel de funcții se numesc necorelate.

Semnal original cu zgomot:

Undă pătrată de aceeași frecvență:

Corelația semnalului inițial și a meandrei:

Atenţie! Fiecare notițe electronice de curs sunt proprietatea intelectuală a autorului lor și sunt publicate pe site doar în scop informativ.