Energia și impulsul în fizica relativistă. Energia în mecanica relativistă

12.4. Energia unei particule relativiste

12.4.1. Energia unei particule relativiste

Energia totală a unei particule relativiste constă din energia de repaus a particulei relativiste și energia sa cinetică:

E = E 0 + T ,

Echivalența masei și energiei(Formula lui Einstein) ne permite să determinăm energia de repaus a unei particule relativiste și energia ei totală după cum urmează:

• energie de odihnă -

E 0 = m 0 c 2 ,

unde m 0 este masa în repaus a particulei relativiste (masa particulei în cadrul propriu de referință); c este viteza luminii în vid, c ≈ 3,0 ⋅ 10 8 m/s;

• energie totala -

E = mc2,

unde m este masa unei particule în mișcare (masa unei particule care se mișcă în raport cu observatorul cu o viteză relativistă v); c este viteza luminii în vid, c ≈ 3,0 ⋅ 10 8 m/s.

Relația dintre mase m 0 (masa unei particule în repaus) și m (masa unei particule în mișcare) sunt determinate de expresia

Energie kinetică particula relativistă este determinată de diferența:

T = E − E 0 ,

unde E este energia totală a particulei în mișcare, E = mc 2 ; E 0 - energia de repaus a particulei specificate, E 0 = m 0 c 2 ; masele m 0 și m sunt legate prin formula

m = m 0 1 − v 2 c 2 ,

unde m 0 este masa particulei din cadrul de referință în raport cu care particula este în repaus; m este masa particulei din cadrul de referință în raport cu care particula se mișcă cu viteza v; c este viteza luminii în vid, c ≈ 3,0 ⋅ 10 8 m/s.

Explicit energie kinetică particula relativistă este definită prin formula

T = m c 2 − m 0 c 2 = m 0 c 2 (1 1 − v 2 c 2 − 1) .

Exemplul 6. Viteza unei particule relativiste este de 80% din viteza luminii. Determinați de câte ori energia totală a particulei este mai mare decât energia sa cinetică.

Soluție. Energia totală a unei particule relativiste constă din energia de repaus a particulei relativiste și energia sa cinetică:

E = E 0 + T ,

unde E este energia totală a unei particule în mișcare; E 0 - energia de repaus a particulei specificate; T este energia sa cinetică.

Rezultă că energia cinetică este diferența

T = E − E 0 .

Cantitatea necesară este raportul

E T = E E − E 0 .

Pentru a simplifica calculele, să găsim inversul valorii dorite:

T E = E − E 0 E = 1 − E 0 E ,

unde E 0 = m 0 c 2 ; E = mc2; m 0 - masa de repaus; m este masa particulei în mișcare; c este viteza luminii în vid.

Substituind expresiile pentru E0 și E în raportul (T/E) dă

T E = 1 − m 0 c 2 m c 2 = 1 − m 0 m .

Relația dintre masele m 0 și m este determinată de formula

m = m 0 1 − v 2 c 2 ,

unde v este viteza particulei relativiste, v = 0,80c.

Să exprimăm raportul de masă de aici:

m 0 m = 1 − v 2 c 2

și înlocuiți-l în (T/E):

T E = 1 − 1 − v 2 c 2 .

Să calculăm:

T E = 1 − 1 − (0,80 c) 2 c 2 = 1 − 0,6 = 0,4.

Cantitatea necesară este raportul invers

E T = 1 0,4 = 2,5 .

Energia totală a unei particule relativiste la viteza indicată depășește energia sa cinetică de 2,5 ori.

Puțin mai sus, am arătat că dependența masei de viteză și legile lui Newton duc la faptul că modificările energiei cinetice a unui corp, rezultate din munca forțelor aplicate acestuia, sunt întotdeauna egale.

Să presupunem că cele două corpuri ale noastre cu mase egale (cele care s-au ciocnit) pot fi „văzute” chiar și atunci când se află în interiorul corpului M. Să presupunem că un proton și un neutron s-au ciocnit, dar continuă să se miște în interiorul M. Masa corpului M. , după cum am descoperit, nu este egal cu 2m 0, ci 2m ω. Această masă de 2m ω a fost furnizată corpului de părțile sale constitutive, a căror masă în repaus era de 2m 0; Aceasta înseamnă că excesul de masă al corpului compozit este egal cu energia cinetică introdusă. Aceasta înseamnă, desigur, că energia are inerție. Mai devreme am vorbit despre încălzirea unui gaz și am arătat că, deoarece moleculele de gaz se mișcă, iar corpurile în mișcare devin mai masive, atunci când gazul este încălzit și mișcarea moleculelor crește, gazul devine mai greu. Dar de fapt acest raționament este destul de general; Discuția noastră despre proprietățile unei coliziuni neelastice arată, de asemenea, că apare întotdeauna o masă suplimentară, chiar și atunci când nu este energie cinetică. Cu alte cuvinte, dacă două particule se unesc și se generează un potențial sau o altă formă de energie, dacă părți ale unui corp compozit sunt încetinite de o barieră de potențial, producând lucru împotriva forțelor interne etc., în toate aceste cazuri masa de corpul este încă egal cu energia totală de intrare. Așadar, vedeți că conservarea masei derivată mai sus este echivalentă cu conservarea energiei, prin urmare în teoria relativității nu putem vorbi despre ciocniri inelastice, așa cum a fost cazul în mecanica newtoniană. Conform mecanicii newtoniene, nimic groaznic nu s-ar întâmpla dacă două corpuri, ciocnindu-se, ar forma un corp cu o masă de 2m 0, cu nimic diferit de ceea ce s-ar fi întâmplat dacă s-ar fi aplicat încet unul altuia. Desigur, din legea conservării energiei știm că există energie cinetică suplimentară în interiorul corpului, dar conform legii lui Newton aceasta nu afectează în niciun fel masa. Și acum se dovedește că acest lucru este imposibil: deoarece corpurile aveau energie cinetică înainte de ciocnire, corpul compozit va fi mai greu; asta înseamnă că va fi un alt corp. Dacă aplicați cu atenție două corpuri unul pe altul, atunci apare un corp cu masa 2m 0; cand le impingi cu forta va aparea un corp cu masa mai mare. Și dacă masa este diferită, atunci o putem observa. Deci, conservarea impulsului în teoria relativității este în mod necesar însoțită de conservarea energiei.

De aici rezultă consecințe interesante. Să fie un corp cu o masă măsurată M și să presupunem că s-a întâmplat ceva și s-a rupt în două părți egale având viteze ω și mase m ω. Să presupunem acum că aceste părți, mișcându-se prin materie, au încetinit treptat și s-au oprit. Acum masa lor este m 0. Câtă energie au dat substanței? Conform teoremei demonstrate mai devreme, fiecare piesă va emite energie (mω - m 0)c 2. Se va transforma în diferite forme, de exemplu, în căldură, în energie potențială etc. Deoarece 2m ω = M, atunci energia eliberată E = (M - 2m 0)c 2. Această ecuație a fost folosită pentru a estima cantitatea de energie care ar putea fi eliberată de fisiunea nucleară într-o bombă atomică (deși părțile bombei nu sunt exact egale, ele sunt aproximativ egale). Se cunoștea masa atomului de uraniu (a fost măsurată în prealabil) și se cunoștea și masa atomilor în care a fost împărțit - iod, xenon etc. (aceasta nu înseamnă masele atomilor în mișcare, ci masele de odihnă). Cu alte cuvinte, atât M, cât și atunci erau cunoscuți. Scăzând o valoare a masei din alta, puteți estima câtă energie va fi eliberată dacă M se descompune „la jumătate”. Din acest motiv, toate ziarele îl considerau pe Einstein „părintele” bombei atomice. De fapt, asta însemna doar că putea calcula energia eliberată în avans dacă i se spunea ce proces va avea loc. Energia care ar trebui eliberată atunci când atomul de uraniu suferă dezintegrare a fost calculată cu doar șase luni înainte de primul test direct. Și de îndată ce energia a fost efectiv eliberată, a fost măsurată direct (dacă nu ar fi fost formula lui Einstein, energia ar fi fost măsurată într-un mod diferit), iar din momentul în care a fost măsurată, formula nu a mai fost necesară . Aceasta nu este nicidecum o slăbire a meritelor lui Einstein, ci mai degrabă o critică a declarațiilor din ziare și a descrierilor populare ale dezvoltării fizicii și tehnologiei. Problema cum să ne asigurăm că procesul de eliberare a energiei are loc eficient și rapid nu are nimic de-a face cu formula.

Formula contează și în chimie. Să spunem, dacă am cântări o moleculă de dioxid de carbon și am compara masa acesteia cu masa carbonului și oxigenului, am putea determina câtă energie este eliberată atunci când carbonul și oxigenul formează dioxid de carbon. Singurul lucru rău este că această diferență de masă este atât de mică încât este foarte dificil din punct de vedere tehnic să se realizeze experimentul.

Acum să trecem la această întrebare: este necesar de acum încolo să adăugăm m 0 c 2 la energia cinetică și să spunem de acum înainte că energia totală a obiectului este egală cu m c 2? În primul rând, dacă am putea vedea componentele cu masă de repaus în interiorul obiectului M, atunci am putea spune că o parte din masa M este masa mecanică de repaus a componentelor, iar cealaltă parte este energia lor cinetică, iar a treia este potențialul. Deși în natură s-au descoperit de fapt diverse particule cu care au loc doar astfel de reacții (reacții de fuziune într-una), cu toate acestea, este imposibil prin orice mijloace să discerneți orice părți componente din interiorul M. De exemplu, dezintegrarea unui mezon K în doi pioni are loc conform legii (16.11), dar nu are sens să considerăm că este format din 2π, deoarece uneori se descompune în 3π!

Și de aceea apare o idee nouă: nu este nevoie să știm cum sunt structurate corpurile din interior; este imposibil și nu este necesar să înțelegem ce parte din energia din interiorul unei particule poate fi considerată energia de repaus a acelor părți în care se va descompune. Este incomod, și uneori imposibil, să descompunem energia totală mс 2 a corpului în energia de repaus a părților interne, energiile lor cinetice și potențiale; în schimb vorbim pur și simplu despre energia totală a particulei. „Deplasăm originea” energiilor adăugând constanta m 0 c 2 la întreg și spunem că energia totală a unei particule este egală cu masa ei de mișcare înmulțită cu c 2, iar când corpul se oprește, energia sa. este masa sa în repaus înmulțită cu c 2.

În cele din urmă, este ușor de găsit că viteza v, impulsul P și energia totală E sunt relativ simplu legate. În mod ciudat, formula m=m 0 /√(1 - v 2 /c 2) este foarte rar folosită în practică. În schimb, două relații ușor de dovedit sunt indispensabile.

Impulsul relativist: .

Energia cinetică a unei particule relativiste: .

Relație relativistă între energia totală și impuls: .

Teorema de adunare a vitezei în mecanica relativistă: ,

Unde uși – viteze în două sisteme de referință inerțiale care se deplasează unul față de celălalt cu o viteză care coincide în direcția cu u(semnul „-”) sau direcționat opus (semnul „+”).

FIZICA MOLECULARĂ ŞI TERMODINAMICĂ

Cantitate de substanță: ,

Unde N- numărul de molecule, N / A– constanta lui Avogadro, m- masa substanței, m- Masă molară.

Ecuația Clayperon-Mendeleev: ,

Unde P- presiunea gazului, V- volumul acestuia, R– constanta de gaz de vopsire, T– temperatura absolută.

Ecuația teoriei cinetice moleculare a gazului: ,

Unde n– concentrația moleculelor, – energia cinetică medie a mișcării de translație a unei molecule, m 0 este masa moleculei și este viteza pătrată medie.

Energia medie a unei molecule: ,

Unde i- numărul de grade de libertate, k– constanta Boltzmann.

Energia internă a unui gaz ideal: .

Vitezele moleculare:

medie pătrată: ,

medie aritmetica: ,

cel mai probabil: .

Calea liberă medie a unei molecule: ,

Unde d este diametrul efectiv al moleculei.

Numărul mediu de ciocniri ale unei molecule pe unitatea de timp:

Distribuția moleculelor într-un câmp de forță potențial: ,

Unde P– energia potenţială a moleculei.

Formula barometrică: .

Ecuația de difuzie: ,

Unde D- coeficientul de difuzie, r- densitate, dS– o zonă elementară perpendiculară pe direcția de-a lungul căreia are loc difuzia.

Ecuația conductivității termice: , æ ,

unde æ este conductivitatea termică.

Forța de frecare internă: ,

Unde h- vascozitate dinamica.

Coeficient de difuzie: .

Vâscozitate (dinamică): .

Conductivitate termică: æ,

Unde CV– capacitate termică specifică izocoră.

Capacitatea termică molară a unui gaz ideal:

izocor: ,

izobaric: .

Prima lege a termodinamicii:

Lucrări de expansiune a gazului în timpul procesului:

izobaric : ,

izotermic: ,

izocoric:

adiabatic: ,

Ecuațiile lui Poisson:

Eficiența ciclului Carnot: ,

Unde QȘi T– cantitatea de căldură primită de la încălzitor și temperatura acestuia; Q 0Și T 0– cantitatea de căldură transferată la frigider și temperatura acestuia.

Modificarea entropiei în timpul trecerii de la starea 1 la starea 2: .

EXEMPLE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

1. Mișcarea unui corp cu greutatea de 1 kg este dată de ecuație s = 6t 3 + 3t + 2. Găsiți dependența vitezei și a accelerației în timp. Calculați forța care acționează asupra corpului la sfârșitul celei de-a doua secunde.

Soluţie. Găsim viteza instantanee ca derivată a drumului în raport cu timpul: , . Accelerația instantanee este determinată de prima derivată a vitezei în raport cu timpul sau a doua derivată a traseului în raport cu timpul: , . Forța care acționează asupra corpului este determinată de legea a doua a lui Newton: , unde, conform condițiilor problemei, este accelerația la sfârșitul celei de-a doua secunde. Apoi, N.

Răspuns: , , N.

2. O tijă de 1 m lungime trece pe lângă observator cu o viteză cu 20% mai mică decât viteza luminii. Ce lungime va apărea observatorului?

Soluţie. Dependența lungimii unui corp de viteză în mecanica relativistă se exprimă prin formula: , unde l 0– lungimea tijei de repaus; – viteza de deplasare a acestuia; Cu– viteza luminii în vid. Înlocuind în formula pentru l 0 valori numerice, avem: l= 0,6 m.

Răspuns: l= 0,6 m.

3. Două particule se deplasează una spre alta cu viteze: 1) = 0,5 CuȘi u = 0,75Cu; 2) = CuȘi u = 0,75Cu. Găsiți viteza lor relativă în primul și al doilea caz.

Soluţie. Conform teoremei privind adunarea vitezelor corpurilor care se deplasează unul spre celălalt, în teoria relativității: , unde , u– vitezele primului și respectiv al doilea corp; – viteza lor relativă; Cu– viteza luminii în vid. Pentru primul și al doilea caz găsim:

Acest lucru confirmă că, în primul rând, în orice cadru de referință inerțial, viteza procesului nu poate depăși viteza luminii și, în al doilea rând, viteza de propagare a luminii în vid este absolută.

Răspuns: = 0,91 Cu; = Cu.

4. Două bile de plumb de mase 0,5 și 1 kg sunt suspendate pe două corzi de lungime egală egală cu 0,8 m. Bilele se ating. Bila cu masă mai mică a fost mutată în lateral, astfel încât snurul să fie deviat la un unghi a=60° și eliberat. La ce înălțime se vor ridica ambele bile după ciocnire? Impactul este considerat central și neelastic. Determinați energia cheltuită pentru deformarea bilelor la impact.

Soluţie. Deoarece impactul bilelor este inelastic, după impact bilele se vor mișca cu o viteză comună u. Legea conservării impulsului în timpul acestui impact are forma:

Iată și vitezele bilelor înainte de impact. Viteza mingii mari înainte de impact este zero ( = 0). Găsim viteza bilei mai mici folosind legea conservării energiei. Când bila mai mică este deviată printr-un unghi, i se dă energie potențială, care apoi se transformă în energie cinetică: . Prin urmare: . Din construcțiile geometrice rezultă: , prin urmare:

. (2)

Din ecuațiile (1) și (2) găsim viteza bilelor după impact:

. (3)

Energia cinetică deținută de bile după impact se transformă în potențial:

Unde h– înălțimea bilelor care se ridică după o coliziune. Din formula (4) găsim, sau luând în considerare (3) și înlocuind datele numerice pe care le obținem h= 0,044 m. În timpul unui impact neelastic al bilelor, o parte din energie este cheltuită pentru deformarea lor. Energia de deformare este determinată de diferența de energii cinetice înainte și după impact:

. Folosind ecuațiile (2) și (3), obținem: , J.

Răspuns: h= 0,044 m, DE D= 1,3 J.

5. Un ciocan cu masa de 70 kg cade de la o înălțime de 5 m și lovește un produs de fier așezat pe o nicovală. Masa nicovalei împreună cu produsul este de 1330 kg. Presupunând că impactul este absolut inelastic, determinați energia cheltuită pentru deformarea produsului. Sistemul ciocan-piesă de prelucrat-nicovală este considerat închis.

Soluţie. În funcție de condițiile problemei, sistemul ciocan-piesă-nicovală este considerat închis, iar impactul este inelastic. Pe baza legii conservării energiei, putem presupune că energia cheltuită pentru deformarea produsului este egală cu diferența dintre valorile energiei mecanice a sistemului înainte și după impact. Presupunem că în timpul unui impact se modifică doar energia cinetică a corpurilor, adică neglijăm mișcarea verticală nesemnificativă a corpurilor în timpul impactului. Atunci pentru energia de deformare a produsului avem:

, (1)

unde este viteza ciocanului la sfârșitul căderii de la înălțime h; este viteza totală a tuturor corpurilor sistemului după un impact neelastic. Viteza ciocanului la sfârșitul unei căderi de la înălțime h se determină fără a lua în considerare rezistența aerului și frecarea conform formulei:

Vom găsi viteza totală a tuturor corpurilor sistemului după un impact inelastic prin aplicarea legii conservării impulsului: . Pentru sistemul luat în considerare, legea conservării impulsului are forma , Unde:

Înlocuind expresiile (2) și (3) în formula (1), obținem: , J.

Raspuns: J.

6. Un corp cu masa de 1 kg se deplasează în linie dreaptă sub acțiunea unei forțe constante. Dependența de timp a drumului parcurs de un corp este dată de ecuație s = 2t 2 +4t+1. Determinați munca efectuată de forță la 10 secunde de la începutul acțiunii sale și dependența energiei cinetice de timp.

Soluţie. Lucrul efectuat de forță este exprimat printr-o integrală curbă:

Forța care acționează asupra corpului, din legea lui Newton II, este egală cu: sau (valoarea instantanee a accelerației este determinată de derivata întâi a vitezei în raport cu timpul sau derivata a doua a drumului în raport cu timpul). În conformitate cu aceasta găsim:

Din expresia (2) determinăm ds:

Înlocuind (4) și (5) în ecuația (1), obținem: Folosind această formulă, determinăm munca efectuată de forță la 10 secunde de la începutul acțiunii sale: , A= 960 J. Energia cinetică este determinată de formula:

Înlocuind (2) în (6), avem: .

Răspuns: A= 960 J, T = m(8t 2 +16t+8).

7. Protonul se deplasează cu o viteză de 0,7 Cu (Cu- viteza luminii). Aflați impulsul și energia cinetică a protonului.

Soluţie. Momentul unui proton este determinat de formula:

Deoarece viteza unui proton este comparabilă cu viteza luminii, este necesar să se ia în considerare dependența masei de viteză, folosind expresia relativistă pentru masă:

Unde m– masa unui proton în mișcare; m 0=1,67×10 -27 kg – masa de repaus a protonilor; v– viteza de mișcare a protonilor; c= 3×10 8 m/s – viteza luminii în vid; v/c = b– viteza protonilor, exprimată în fracțiuni din viteza luminii. Înlocuind ecuația (2) în (1) obținem: , kg×m/s. În mecanica relativistă, energia cinetică a unei particule este definită ca diferența dintre energia totală Eși energie de odihnă E 0 a acestei particule:

. (3)

Răspuns: p= 4,91×10 -19 kg ×m/s, T= 0,6×10 -10 J.

8. O tijă subțire se rotește cu o viteză unghiulară de 10 s -1 într-un plan orizontal în jurul unei axe verticale care trece prin mijlocul tijei. În timpul rotației în același plan, tija se mișcă astfel încât axa de rotație să treacă prin capătul său. Aflați viteza unghiulară după mișcare.

Soluţie. Folosim legea conservării momentului unghiular: , unde J i, este momentul de inerție al tijei față de axa de rotație. Pentru un sistem izolat de corpuri, suma vectorială a momentului unghiular rămâne constantă. În această problemă, datorită faptului că distribuția masei tijei în raport cu axa de rotație se modifică, se va modifica și momentul de inerție al tijei. În conformitate cu legea conservării momentului unghiular, scriem:

Se știe că momentul de inerție al tijei față de axa care trece prin centrul de masă și perpendicular pe tijă este egal cu:

Conform teoremei lui Steiner: unde J– momentul de inerție al corpului față de o axă de rotație arbitrară; J 0– momentul de inerție în jurul unei axe paralele care trece prin centrul de masă; d– distanța de la centrul de masă la axa de rotație selectată. Să găsim momentul de inerție în jurul axei care trece prin capătul ei și perpendicular pe tijă:

. (3)

Înlocuind formulele (2) și (3) în (1), avem: , de unde .

Răspuns: w 2= 2,5 s -1.

9. Un volant cu masa de 4 kg se rotește cu o frecvență de 720 min -1 în jurul unei axe orizontale care trece prin centrul său. Masa volantului poate fi considerată distribuită uniform de-a lungul jantei sale cu o rază de 40 cm.După 30 s, volantul s-a oprit sub influența cuplului de frânare. Găsiți cuplul de frânare și numărul de rotații pe care le va face volantul până când se oprește complet.

Soluţie. Pentru a determina cuplul de frânare M forțele care acționează asupra corpului, trebuie să aplicați ecuația de bază a dinamicii mișcării de rotație:

Unde J– momentul de inerție al volantului față de axa care trece prin centrul de masă; – modificarea vitezei unghiulare într-o perioadă de timp. Conform condiției, , unde este viteza unghiulară inițială, deoarece viteza unghiulară finală = 0. Să exprimăm viteza unghiulară inițială în termeni de frecvență de rotație a volantului; apoi și momentul de inerție al volantului, unde m– masa volantului; R– raza acestuia. Formula (1) are forma: Unde M= -1,61 N×m. Semnul „-” indică faptul că momentul este dureros.

Unghiul de rotație (adică traseul unghiular) în timpul rotației volantului până când acesta se oprește poate fi determinat prin formula pentru o rotație uniformă lentă:

unde este accelerația unghiulară. După condiție, , , . Atunci expresia (2) poate fi scrisă după cum urmează: . Deoarece j = 2pN, w 0 = 2pn, apoi numărul de rotații complete ale volantului: .

Răspuns: M= 1,61 N×m, N = 180.

10. Un vas cu volumul de 2 m 3 conţine un amestec de 4 kg heliu şi 2 kg hidrogen la o temperatură de 27 °C. Determinați presiunea și masa molară a amestecului de gaze.

Soluţie. Să folosim ecuația Clayperon-Mendeleev, aplicând-o la heliu și hidrogen:

Unde P 1– presiunea parțială a heliului; m 1– masa de heliu; – masa sa molară; V– volumul vasului; T– temperatura gazului; R= 8,31 J/(mol×K) – constanta molară a gazelor; P2- presiunea parțială a hidrogenului; m 2– masa hidrogenului; – masa sa molară. Sub presiune parțială P 1Și P2 se referă la presiunea pe care gazul ar produce-o dacă ar fi singur în vas. Conform legii lui Dalton, presiunea amestecului este egală cu suma presiunilor parțiale ale gazelor incluse în amestec:

Din ecuațiile (1) și (2) exprimăm P 1Și P2și înlocuiți-l în ecuația (3). Avem:

. (4)

Găsim masa molară a unui amestec de gaze folosind formula: , unde v 1Și v 2– numărul de moli de heliu și respectiv hidrogen. Numărul de moli de gaze este determinat de formulele: și . Apoi: . Înlocuind valorile numerice obținem: P= 2493 kPa și = 3×10 -3 kg/mol.

Răspuns: P= 2493 kPa, =3×10 -3 kg/mol.

11. Care sunt energiile cinetice medii ale mișcării de translație și rotație ale moleculelor conținute în 2 kg de hidrogen la o temperatură de 400 K?

Soluţie. Considerăm hidrogenul un gaz ideal. Molecula de hidrogen este diatomică, legătura dintre atomi este considerată rigidă. Atunci numărul de grade de libertate al moleculei de hidrogen este 5, dintre care trei sunt translaționale și două sunt rotaționale. În medie, există energie pe grad de libertate, unde k– constanta Boltzmann; T– temperatura termodinamică. Pentru o moleculă: și . Numărul de molecule conținute într-o masă de gaz: . Apoi energia cinetică medie a mișcării de translație a moleculelor de două kilograme de hidrogen: . Energia cinetică medie a mișcării de rotație a acelorași molecule: . Înlocuind valorile numerice avem: =4986 KJ și =2324 KJ.

Răspuns: =4986 KJ, =2324 KJ.

12. Determinați calea liberă medie a moleculelor și numărul de ciocniri în 1 s care au loc între toate moleculele de oxigen situate într-un vas de 2 litri la o temperatură de 27 0 C și o presiune de 100 kPa.

Soluţie. Calea liberă medie a moleculelor de oxigen se calculează prin formula: , unde d– diametrul efectiv al unei molecule de oxigen; n– numărul de molecule pe unitatea de volum, care poate fi determinat din ecuația: , unde k– constanta Boltzmann. Astfel, avem: . Numărul de coliziuni Z care apare între toate moleculele în 1 s este egală cu: , unde N– numărul de molecule de oxigen dintr-un vas cu volumul de 2×10 -3 m3; – numărul mediu de ciocniri ale unei molecule la 1 s. Numărul de molecule din vas: . Numărul mediu de ciocniri ale unei molecule în 1 s este egal cu: , unde<V> este viteza medie aritmetică a moleculei. Apoi expresia pentru Z va fi rescris ca: . Înlocuind valorile numerice, obținem: Z

Răspuns: Z= 9×10 28 s -1 , = 3,56×10 8 m.

13. Determinați coeficienții de difuzie și frecare internă a azotului la temperatură T= 300 K și presiune 10 5 Pa.

Soluţie. Coeficientul de difuzie este determinat de formula: , unde<V> este viteza medie aritmetică a moleculelor, este calea liberă medie a moleculelor. Pentru a-l găsi, folosim formula de la soluția la Exemplul 12: . Expresia pentru coeficientul de difuzie va lua forma: . Coeficientul de frecare intern: , unde r– densitatea gazului la o temperatură de 300 K și o presiune de 10 5 Pa. A găsi r Să folosim ecuația de stare a unui gaz ideal. Să o scriem pentru două stări ale azotului: în condiții normale T 0=273 K, P=1,01×10 5 Pa şi în condiţiile problemei: şi . Având în vedere că și , avem: . Coeficientul de frecare internă a unui gaz poate fi exprimat în termeni de coeficient de difuzie: . Înlocuind valorile numerice, obținem: D= 4,7×10 5 m 2 /s și h= 5,23×10 -5 kg/(m×s).

Răspuns: D= 4,7×10 5 m 2 /s și h= 5,23×10 -5 kg/(m×s).

14. Oxigenul cu o greutate de 160 g se incalzeste la o presiune constanta de la 320 la 340 K. Determinati cantitatea de caldura absorbita de gaz, modificarea energiei interne si munca de dilatare a gazului.

Soluţie. Cantitatea de căldură necesară pentru a încălzi un gaz la presiune constantă: . Aici cu pȘi S p– capacitatea termică specifică și molară a gazului la presiune constantă; m=32×10 -3 kg/mol – masa molară a oxigenului. Pentru toate gazele biatomice: , J/(mol×K). Modificarea energiei interne a gazului se găsește prin formula: , unde CV– capacitatea termică molară a gazului la volum constant. Pentru toate gazele biatomice: C V = = 5/ 2×R; CV= 20,8 J/(mol x K). Lucrarea expansiunii gazului în timpul unui proces izobaric: , unde este modificarea volumului gazului, care poate fi găsită din ecuația Clayperon–Mendeleev. Într-un proces izobaric: și . Prin scăderea termen cu termen de expresii găsim: , deci: . Înlocuind valorile numerice, obținem: J, J, J.

Răspuns: J, J, J.

15. Volumul de argon la o presiune de 80 kPa a crescut de la 1 la 2 litri. Cât se va modifica energia internă a gazului dacă dilatarea s-a efectuat: a) izobar; b) adiabatic.

Soluţie. Să aplicăm prima lege a termodinamicii. Conform acestei legi, cantitatea de căldură Q, transferat în sistem, este cheltuit pentru creșterea energiei interne și pentru lucrul mecanic extern A: . Mărimea sistemului poate fi determinată prin cunoașterea masei gazului, a căldurii specifice la volum constant cu V iar schimbarea temperaturii: . Cu toate acestea, este mai convenabil să se determine modificarea energiei interne prin capacitatea de căldură molară CV, care se poate exprima prin numărul de grade de libertate: . Înlocuirea valorii CV primim: . Modificarea energiei interne depinde de natura procesului în care gazul se extinde. În timpul expansiunii izobare a unui gaz, conform primei legi a termodinamicii, o parte din cantitatea de căldură merge pentru a modifica energia internă. Este imposibil de găsit pentru argon folosind formula obținută, deoarece masa și temperatura gazului nu sunt date în enunțul problemei. Prin urmare, este necesar să se transforme această formulă. Să scriem ecuația Clayperon-Mendeleev pentru stările inițiale și finale ale gazului: și , sau . Apoi: . Această ecuație este calculată pentru determinarea în expansiune izobară. Prin urmare, în timpul expansiunii adiabatice a unui gaz, nu există schimb de căldură cu mediul extern Q= 0. Prima lege a termodinamicii se va scrie astfel: . Această relație stabilește că munca de dilatare a gazului se poate face doar prin reducerea energiei interne a gazului (semnul minus în fața lui): . Formula de lucru pentru un proces adiabatic este: , Unde g– indice adiabatic egal cu: . Pentru argon - un gaz monoatomic ( i= 3) – avem g=1,67. Găsim modificarea energiei interne în timpul procesului adiabatic pentru argon: . Pentru a determina activitatea de expansiune a argonului, formula pentru ar trebui să fie transformată, ținând cont de parametrii indicați în enunțul problemei. Aplicând ecuația Clayperon-Mendeleev pentru acest caz, obținem o expresie pentru calcularea modificării energiei interne: . Înlocuind valori numerice, avem: a) cu o expansiune izobară a lui J; b) cu expansiune adiabatică a lui J.

Răspuns: a) =121 J; b) = -44,6 J.

16. Temperatura încălzitorului motorului termic este de 500 K. Temperatura frigiderului este de 400 K. Determinați randamentul. a unui motor termic care funcționează conform ciclului Carnot și puterea maximă a mașinii dacă încălzitorul îi transferă 1675 J de căldură în fiecare secundă.

Soluţie. Eficiența mașinii este determinată de formula: or. Din aceste expresii găsim: . Hai sa facem calculele: A= 335 J. Această lucrare se realizează în 1 s, prin urmare, puterea totală a mașinii este de 335 W.

Răspuns: = 0,2, N=335 W.

17. Apa caldă de o anumită masă transferă căldură în apa rece de aceeași masă și temperaturile acestora devin aceleași. Arătați că entropia crește în acest caz.

Soluţie. Lăsați temperatura apei fierbinți T 1, rece T 2, iar temperatura amestecului este de . Să determinăm temperatura amestecului pe baza ecuației de echilibru termic: sau , Unde: . Modificarea entropiei care are loc atunci când apa fierbinte este răcită: . Modificarea entropiei care are loc atunci când apa rece este încălzită: . Modificarea entropiei sistemului este egală cu: sau ; precum și 4T 1 T 2>0, atunci.

VERIFICAȚI LUCRAREA Nr. 1

101. Sub influența ce forță în timpul mișcării rectilinie a unui corp, modificarea coordonatelor acestuia în timp are loc conform legii x = 10 + 5t - - 10t 2? Greutate corporală 2 kg.

102. Aflați legea mișcării unui corp cu greutatea de 1 kg sub influența unei forțe constante de 10 N, dacă în momentul de față t = 0 corpul era în repaus la origine ( x = 0).

103. Aflați legea mișcării unui corp cu greutatea de 1 kg sub influența unei forțe constante de 1 N, dacă în momentul de față t = 0 coordonata de pornire x = 0 și v 0 = 5m/s.

104. Aflați legea mișcării unui corp cu greutatea de 1 kg sub influența unei forțe constante de 2 N, dacă în momentul de față t = 0 avem x 0 = 1 m și v 0 =2 Domnișoară.

105. Un corp care cântărește 2 kg se mișcă cu accelerația variind conform legii a = 5t-10. Determinați forța care acționează asupra corpului la 5 s după începerea acțiunii și viteza la sfârșitul celei de-a cincea secunde.

106. O bilă solidă cu o masă de 1 kg și o rază de 5 cm se rotește în jurul unei axe care trece prin centrul ei. Legea de rotație a bilei este exprimată prin ecuație. În punctul cel mai îndepărtat de axa de rotație, asupra bilei acționează o forță tangențială la suprafață. Determinați această forță și cuplul de frânare.

107. O mașină se deplasează de-a lungul unei autostrăzi curbe cu o rază de curbură de 100 m. Legea mișcării mașinii este exprimată prin ecuație. Găsiți viteza mașinii, accelerația tangențială, normală și totală a acesteia la sfârșitul celei de-a cincea secunde.

108. Un punct material se deplasează într-un cerc a cărui rază este de 20 m. Dependența de timp a drumului parcurs de punct este exprimată prin ecuație. Determinați distanța parcursă, viteza unghiulară și accelerația unghiulară a punctului după 3 s de la începutul mișcării sale.

109. Un punct material se deplasează de-a lungul unui cerc cu raza de 1 m conform ecuației. Aflați viteza, accelerația tangențială, normală și totală la timpul de 3 s.

110. Un corp se rotește uniform cu o viteză unghiulară inițială de 5 s -1 și o accelerație unghiulară de 1 rad/s 2 . Câte rotații face corpul în 10 s?

111. Un paralelipiped care măsoară 2x2x4 cm 3 se deplasează paralel cu muchia mai mare. Cu ce ​​viteză va părea a fi un cub?

112. Ce viteză trebuie să aibă un corp în mișcare pentru ca dimensiunile lui longitudinale să fie înjumătățite?

113. Mezonul π este o particulă instabilă. Durata sa de viață este de 2,6×10 -8 s. Cât de departe va călători mezonul π înainte de a se dezintegra dacă se mișcă cu o viteză de 0,9 Cu?

114. Găsiți durata de viață adecvată a unei particule instabile - mezon, care se deplasează cu o viteză de 0,99 Cu, dacă distanța pe care o parcurge înainte de dezintegrare este de 0,1 km.

115. Durata de viață adecvată a mezonului π este de 2,6×10 -8 s. Care este durata de viață a unui π-mezon pentru un observator în raport cu care această particulă se mișcă cu o viteză de 0,8 Cu?

116. Electron a cărui viteză este 0,9 Cu, se deplasează către un proton cu viteza de 0,8 Cu

117. Un nucleu radioactiv emis de un accelerator cu o viteză de 0,8 Cu, a aruncat o particulă în direcția mișcării sale cu o viteză de 0,7 Cu raportat la accelerator. Aflați viteza particulei în raport cu nucleul.

118. Două particule se deplasează una spre alta cu o viteză de 0,8 Cu. Determinați viteza mișcării lor relative.

119. Cu ce ​​viteză de mișcare va fi reducerea relativistă a lungimii unui corp în mișcare de 25%.

120. Ce viteză trebuie să aibă un corp în mișcare pentru ca dimensiunile lui longitudinale să scadă cu 75%.

121. Un cilindru solid cu masa de 0,1 kg se rostogolește fără alunecare cu o viteză constantă de 4 m/s. Determinați energia cinetică a cilindrului și timpul înainte ca acesta să se oprească dacă asupra lui acționează o forță de frecare de 0,1 N.

122. O bilă solidă se rostogolește pe un plan înclinat, a cărui lungime este de 1 m și unghiul de înclinare este de 30°. Determinați viteza mingii la capătul planului înclinat. Ignorați frecarea mingii în avion.

123. Un cilindru gol cu ​​masa de 1 kg se rostogolește de-a lungul unei suprafețe orizontale cu o viteză de 10 m/s. Determinați forța care trebuie aplicată cilindrului pentru a-l opri la o distanță de 2 m.

124. Un volant în formă de disc cu o masă de 10 kg și o rază de 0,1 m a fost rotit la o frecvență de 120 min -1. Sub influența frecării, discul sa oprit după 10 Cu. Aflați momentul forțelor de frecare, considerându-l constant.

125. Un cerc și un disc se rotesc pe un plan înclinat făcând un unghi de 30° cu orizontala. Care sunt accelerațiile lor la sfârșitul coborârii? Neglijați forța de frecare.

126. O minge în repaus cu o masă de 2 kg se ciocnește cu aceeași minge care se mișcă cu o viteză de 1 m/s. Calculați munca efectuată datorită deformării în timpul unui impact inelastic central direct.

127. Greutatea proiectilului 10 kg, greutatea țevii pistolului 500 kg. Când este tras, proiectilul primește energie cinetică de 1,5 × 10 6 J. Câtă energie cinetică primește țeava pistolului datorită reculului?

128. Un patinator de viteză cu greutatea de 60 kg, stând pe patine pe gheață, aruncă o piatră de 2 kg în direcție orizontală cu o viteză de 10 m/s. Cât de departe va rula patinatorul dacă coeficientul de frecare al patinelor pe gheață este 0,02?

129. O moleculă de hidrogen care se mișcă cu o viteză de 400 m/s zboară până la peretele unui recipient sub un unghi de 60° și o lovește elastic. Determinați impulsul primit de perete. Luați masa moleculelor egală cu 3 × 10 -27 kg.

130. O bilă de oțel cu o greutate de 50 g a căzut de la o înălțime de 1 m pe o placă mare, transmițându-i un impuls de forță egal cu 0,27 N×s. Determinați cantitatea de căldură eliberată la impact și înălțimea la care se ridică mingea.

131. Cu ce ​​viteză se mișcă un electron dacă energia lui cinetică este de 1,02 MeV? Determinați impulsul electronului.

132. Energia cinetică a unei particule s-a dovedit a fi egală cu energia ei de repaus. Care este viteza acestei particule?

133. Masa unui proton în mișcare este de 2,5×10 -27 kg. Aflați viteza și energia cinetică a protonului.

134. Un proton a trecut printr-o diferență de potențial de accelerare de 200 MV. De câte ori este masa sa relativistă mai mare decât masa în repaus? Care este viteza unui proton?

135. Determinați viteza unui electron dacă masa lui relativistă este de trei ori mai mare decât masa în repaus. Calculați energia cinetică și totală a electronului.

136. Calculați viteza, energia cinetică și totală a unui proton în momentul în care masa lui este egală cu masa în repaus a particulei.

137. Aflați impulsul, energia totală și cinetică a unui electron care se mișcă cu o viteză egală cu 0,7 Cu.

138. Un proton și o particulă trec prin aceeași diferență de potențial de accelerație, după care masa protonului este jumătate din masa de repaus a particulei -. Determinați diferența de potențial.

139. Aflați impulsul, energia totală și cinetică a unui neutron care se mișcă cu o viteză de 0,6 Cu.

140. De câte ori este masa unui deuteron în mișcare mai mare decât masa unui electron în mișcare dacă vitezele lor sunt, respectiv, egale cu 0,6 Cuși 0,9 Cu. Care este energia lor cinetică?

141. Aflați energia cinetică medie a mișcării de rotație a tuturor moleculelor conținute în 0,20 g de hidrogen la o temperatură de 27 °C.

142. Presiunea gazului ideal 10 mPa, concentrația moleculară 8 × 10 10

cm -3 . Determinați energia cinetică medie a mișcării de translație a unei molecule și temperatura gazului.

143. Determinați valoarea medie a energiei cinetice totale a unei molecule de argon și vapori de apă la o temperatură de 500 K.

144. Energia cinetică medie a mișcării de translație a moleculelor de gaz este de 15×10 -21 J. Concentrația moleculelor este de 9×10 19 cm -3. Determinați presiunea gazului.

145. Un cilindru cu o capacitate de 50 de litri conține hidrogen comprimat la 27 °C. După ce o parte din aer a fost eliberată, presiunea a scăzut cu 10 5 Pa. Determinați masa hidrogenului eliberat. Procesul este considerat izotermic.

146. Un vas în formă de minge cu raza de 0,1 m conține 56 g de azot. La ce temperatură poate fi încălzit un gaz dacă pereții vasului pot rezista la o presiune de 5·10 5 Pa?

147. La o temperatură de 300 K și o presiune de 1,2 × 10 5 Pa, densitatea amestecului de hidrogen și azot este de 1 kg/m 3. Determinați masa molară a amestecului.

148. Un cilindru cu o capacitate de 0,8 m 3 conţine 2 kg hidrogen şi 2,9 kg azot. Determinați presiunea amestecului dacă temperatura ambiantă este de 27 °C.

149. La ce temperatură poate fi încălzit un vas etanș care conține 36 g apă pentru a nu sparge, dacă se știe că pereții vasului pot rezista la o presiune de 5 × 10 6 Pa. Volumul vasului este de 0,5 l.

150. La o temperatură de 27 °C și o presiune de 10 6 Pa, densitatea amestecului de oxigen și azot este de 15 g/dm 3. Determinați masa molară a amestecului.

151. Un vas cu o capacitate de 1 litru contine oxigen cu o greutate de 32 g. Determinati numarul mediu de ciocniri de molecule pe secunda la o temperatura de 100 K.

152. Determinați lungimea medie și calea liberă medie a moleculelor de dioxid de carbon la o temperatură de 400 K și o presiune de 1,38 Pa.

153. Un vas cu o capacitate de 1 litru contine 4,4 g dioxid de carbon. Determinați calea liberă medie a moleculelor.

154. Să se determine coeficientul de difuzie al heliului la o presiune de 1·10 6 Pa și o temperatură de 27 °C.

155. Să se determine coeficientul de frecare internă a oxigenului la o temperatură de 400 K.

156. Un vas cu o capacitate de 5 litri contine 40 g de argon. Determinați numărul mediu de ciocniri de molecule pe secundă la o temperatură de 400 K.

157. Să se determine coeficientul de frecare internă a aerului la o temperatură de 100 K.

158. Să se determine coeficientul de difuzie al azotului la o presiune de 0,5×10 5 Pa și o temperatură de 127 °C.

159. Coeficientul de frecare internă a oxigenului în condiții normale este de 1,9 × 10 -4 kg/m × s. Determinați coeficientul de conductivitate termică a oxigenului.

160. Coeficientul de difuzie a hidrogenului în condiții normale

9,1×10 -5 m 2 /s. Determinați coeficientul de conductivitate termică a hidrogenului.

161. Să se determine câtă căldură trebuie transmisă argonului cu o greutate de 400 g pentru a-l încălzi cu 100 K: a) la volum constant; b) la presiune constantă.

162. De câte ori va crește volumul a 2 moli de oxigen în timpul expansiunii izoterme la o temperatură de 300 K, dacă în gaz se adaugă 4 kJ de căldură?

163. Ce cantitate de căldură trebuie furnizată la 2 moli de aer pentru ca acesta să facă 1000 J de lucru: a) într-un proces izoterm; b) în timpul unui proces izobaric.

164. Aflați munca efectuată și modificarea energiei interne în timpul expansiunii adiabatice a 28 g de azot, dacă volumul acestuia s-a dublat. Temperatura inițială a azotului este de 27 °C.

165. Oxigenul, ocupând un volum de 10 litri și sub o presiune de 2·10 5 Pa, se comprimă adiabatic până la un volum de 2 litri. Găsiți munca de compresie și modificarea energiei interne a oxigenului.

166. Determinați cantitatea de căldură transmisă la 88 g de dioxid de carbon dacă acesta a fost încălzit izobar de la 300 K la 350 K. Ce lucru poate fi efectuat de gaz și cum se va schimba energia sa internă?

167. În ce proces este mai profitabilă dilatarea aerului: izobar sau izotermic, dacă volumul crește de cinci ori. Temperatura inițială a gazului este aceeași în ambele cazuri.

168. În ce proces este mai profitabil să se încălzească 2 moli de argon la 100 K: a) izobar; b) izocoric.

169. Azotului care cântărește 20 g a primit 3116 J de căldură în timpul încălzirii izobare. Cum s-au schimbat temperatura și energia internă a gazului.

170. În timpul expansiunii izoterme a unui mol de hidrogen, s-au consumat 4 kJ de căldură, iar volumul de hidrogen a crescut de cinci ori. La ce temperatură are loc procesul? Care este modificarea energiei interne a gazului, ce activitate efectuează gazul?

171. Determinați modificarea entropiei a 14 g de azot atunci când este încălzit izobar de la 27 °C la 127 °C.

172. Cum se va schimba entropia a 2 moli de dioxid de carbon în timpul expansiunii izoterme dacă volumul gazului crește de patru ori?

173. În timpul efectuării ciclului Carnot, gazul a transferat 25% din căldura primită de la încălzitor la frigider. Determinați temperatura frigiderului dacă temperatura încălzitorului este de 400 K.

174. Un motor termic funcționează după ciclul Carnot, eficiență. care este 0,4. Care va fi eficiența? această mașină dacă face același ciclu în sens invers?

175. O mașină frigorifică funcționează pe un ciclu Carnot invers, eficiență. din care 40%. Care va fi eficiența? această mașină dacă funcționează pe un ciclu Carnot direct.

176. Într-un ciclu Carnot direct, motorul termic efectuează 1000 J de lucru. Temperatura încălzitorului este de 500 K, temperatura frigiderului este de 300 K. Determinați cantitatea de căldură primită de mașină de la încălzitor.

177. Aflați modificarea entropiei când se încălzesc 2 kg de apă de la 0 la 100 °C și apoi se transformă în abur la aceeași temperatură.

178. Aflați modificarea entropiei la topirea a 2 kg de plumb și răcirea în continuare de la 327 la 0 °C.

179. Determinați modificarea entropiei care se produce la amestecarea a 2 kg de apă la o temperatură de 300 K și a 4 kg de apă la o temperatură de 370 K.

180. Gheața cu greutatea de 1 kg, situată la o temperatură de 0 °C, se încălzește la o temperatură de 57 °C. Determinați modificarea entropiei.

Poate satisface doar parțial cercetătorii atunci când efectuează calcule matematice și întocmesc anumite modele matematice. Legile lui Newton sunt valabile numai pentru transformările galileene, dar pentru toate celelalte cazuri sunt necesare transformări noi, care se reflectă în transformările Lorentz prezentate. El a introdus astfel de principii și concepte pentru a face calcule precise pentru obiectele care interacționează care desfășoară procese similare la viteze extrem de mari, apropiate de viteza luminii.

Figura 1. Momentul și energia în mecanica relativistă. Autor24 - schimb online de lucrări ale studenților

Teoria relativității în sine, care a fost formulată de Albert Einstein, necesită o revizuire serioasă a dogmelor mecanicii clasice. Lorentz a introdus ecuații suplimentare de dinamică, al căror scop a fost aceeași transformare a ideilor clasice despre procesele fizice în curs. A fost necesar să se schimbe formulele astfel încât acestea să rămână corecte la trecerea de la un sistem de referință inerțial la altul.

Impulsul relativist

Figura 2. Impulsul relativist. Autor24 - schimb online de lucrări ale studenților

Pentru a introduce conceptul de energie în mecanica relativistă, este necesar să luăm în considerare:

• impuls relativist;
• principiul corespondenței.

La obținerea unei expresii relativiste a impulsului, este necesar să se aplice principiul corespondenței. În mecanica relativistă, impulsul unei particule poate fi determinat de viteza acelei particule. Cu toate acestea, dependența impulsului de viteză pare a fi un mecanism mai complex decât procesele similare din mecanica clasică. Acest lucru nu se mai poate reduce la o simplă proporționalitate, iar eficacitatea calculelor constă în parametri și cantități suplimentare. Momentul este reprezentat ca un vector, unde direcția sa trebuie să coincidă complet cu direcția vitezei unei anumite particule. Acest lucru este prevăzut în varianta de simetrie, deoarece echivalența intră în vigoare datorită izotropiei spațiului liber.

Nota 1

În acest caz, impulsul unei particule libere este îndreptat către o singură direcție selectată a vitezei sale. Dacă viteza particulelor este zero, atunci și impulsul particulei este zero.

Viteza unei particule în orice cadru de referință are o valoare finită. Trebuie să fie întotdeauna mai mică decât viteza luminii, care este afișată sub forma literei C, dar acest fapt nu este capabil să impună anumite restricții asupra întregii mărimi a impulsului acestei particule și impulsul poate crește fără limită.

Energie relativistă

Prin compararea diferitelor metode și tehnici de calcul, se poate găsi energia relativistă a particulelor. Se știe că o proprietate foarte importantă a energiei este capacitatea sa de a se transforma dintr-o formă în alta și invers. Acest lucru se întâmplă în cantități echivalente și în diferite condiții externe. Aceste metamorfoze constituie una dintre legile de bază ale conservării și transformării energiei. Cu astfel de fenomene, cercetătorii au stabilit o creștere a masei relativiste. Procese similare apar cu orice creștere a energiei corpurilor și aceasta nu depinde de un anumit tip de energie, inclusiv de energia cinetică. S-a stabilit că energia totală a unui corp este proporțională cu masa sa relativistă. Acest lucru se întâmplă indiferent de tipurile specifice de energie din care constă.

Vizual, astfel de procese pot fi reprezentate sub forma unor exemple simple:

• un corp încălzit va avea o masă de repaus mai mare decât un obiect rece;
• o piesă deformată mecanic are și o masă mai mare decât una care nu a fost prelucrată.

Einstein a înțeles această relație dintre masa și energia unui corp. În consecință, în timpul unei coliziuni neelastice a diferitelor particule, au loc anumite procese pentru a converti energia cinetică în energie internă. Se mai numește și energia mișcării termice a particulelor. Cu acest tip de interacțiune, este clar că masa în repaus a corpului va deveni mai mare decât masa totală în repaus a corpurilor la începutul experimentului. Energia internă a unui anumit corp poate fi însoțită de o creștere proporțională a masei. Același proces este natural pentru creșterea valorii energiei cinetice. Potrivit mecanicii clasice, astfel de ciocniri nu implicau formarea energiei interne, deoarece nu erau incluse în conceptul de energie mecanică.

Proporționalitatea masei și energiei

Pentru funcționarea logică a legii energiei relativiste, este necesar să se introducă conceptul legii conservării impulsului și relația acestuia cu principiul relativității. Acest lucru necesită ca legea conservării energiei să fie îndeplinită în diferite cadre de referință inerțiale.

Conservarea impulsului este strâns legată de proporționalitatea energiei și a masei corporale în toate formele și manifestările sale. Conservarea impulsului nu este posibilă într-un cadru de referință închis, când are loc o tranziție a energiei de la forma sa obișnuită la alta. În acest caz, greutatea corporală începe să se schimbe, iar legea încetează să se aplice corect. Legea proporționalității masei și energiei este exprimată ca concluzia cea mai aproximativă a întregii teorii a relativității.

Proprietățile inerte ale corpului în termeni cantitativi caracterizează mecanica masei corporale. O astfel de masă inertă poate reprezenta o măsură a inerției întregului corp. Antipodul masei inerțiale este masa gravitațională. Se caracterizează prin capacitatea unui corp de a crea un anumit câmp gravitațional în jurul său și de a acționa astfel asupra altor corpuri.

În prezent, egalitatea masei gravitaționale și inerțiale a fost confirmată de un număr mare de studii experimentale. În teoria relativității, se pune și întrebarea unde apar conceptele de energie și masă ale unui corp. Acest lucru se datorează manifestării diferitelor proprietăți ale materiei. Dacă sunt examinate în detaliu în planul indicat, atunci masa și energia din materie vor diferi semnificativ. Cu toate acestea, astfel de proprietăți ale materiei sunt, fără îndoială, puternic interconectate. În acest context, se obișnuiește să se vorbească despre echivalența masei și energiei, deoarece acestea sunt proporționale între ele.

A doua lege a lui Newton afirmă că derivata impulsului unei particule (punct material) în raport cu timpul este egală cu forța rezultată care acționează asupra particulei (vezi formula (9.1)). Ecuația celei de-a doua legi se dovedește a fi invariantă la transformările Lorentz dacă prin impuls înțelegem mărimea (67.5). În consecință, expresia relativistă a celei de-a doua legi a lui Newton are forma

Trebuie avut în vedere că relația nu este aplicabilă în cazul relativist, iar accelerația w și forța F, în general vorbind, se dovedesc a fi necoliniare.

Rețineți că impulsul și forța nu sunt cantități invariante. Formulele pentru transformarea componentelor momentului la trecerea de la un sistem de referință inerțial la altul vor fi obținute în paragraful următor. Vom da formule pentru conversia componentelor forței fără. ieșire:

(viteza particulelor în sistemul K). Dacă în sistemul K forța F care acționează asupra particulei este perpendiculară pe viteza particulei V, produsul scalar FV este egal cu zero și prima dintre formulele (68.2) se simplifică după cum urmează:

Pentru a găsi o expresie relativistă pentru energie, vom proceda la fel ca în § 19. Înmulțiți ecuația (68.1) cu deplasarea particulei. Ca rezultat obținem

Partea dreaptă a acestei relații oferă munca efectuată asupra particulei în timp. În § 19 s-a arătat că munca rezultantei tuturor forțelor duce la creșterea energiei cinetice a particulei (vezi formula). În consecință, partea stângă a relației ar trebui interpretată ca o creștere a energiei cinetice T a particulei în timp. Prin urmare,

Să transformăm expresia rezultată, ținând cont de faptul că (vezi (2.54)):

Integrarea relaţiei rezultate dă

(68.4)

În sensul energiei cinetice, ea trebuie să dispară la. Prin urmare, valoarea constantei este egală cu. Prin urmare, expresia relativistă pentru energia cinetică a unei particule are forma

În cazul vitezelor mici, formula (68.5) poate fi transformată după cum urmează:

Am ajuns la expresia newtoniană pentru energia cinetică a unei particule. Acest lucru era de așteptat, deoarece la viteze mult mai mici decât viteza luminii, toate formulele mecanicii relativiste trebuie să se transforme în formulele corespunzătoare ale mecanicii newtoniene.

Luați în considerare o particulă liberă (adică o particulă care nu este supusă forțelor externe) care se mișcă cu viteza v. Am aflat că această particulă are energie cinetică determinată de formula (68.5). Cu toate acestea, există motive (vezi mai jos) pentru a atribui unei particule libere, pe lângă energia cinetică (68.5), o energie suplimentară egală cu

Astfel, energia totală a unei particule libere este determinată de expresie. Ținând cont de (68.5), obținem că

Când expresia (68.7) devine (68.6). Prin urmare, se numește energie de odihnă. Această energie reprezintă energia internă a particulei, care nu este asociată cu mișcarea particulei ca întreg.

Formulele (68.6) și (68.7) sunt valabile nu numai pentru o particulă elementară, ci și pentru un corp complex format din multe particule. Energia unui astfel de corp conține, pe lângă energiile de repaus ale particulelor incluse în compoziția sa, și energia cinetică a particulelor (datorită mișcării lor față de centrul de masă al corpului) și energia interacțiunii lor. unul cu altul. Energia de repaus, ca și energia totală (68.7), nu include energia potențială a unui corp într-un câmp de forță extern.

Eliminând viteza v din ecuațiile (67.5) și (68.7) (ecuația (67.5) trebuie luată în formă scalară), obținem expresia pentru energia totală a particulei în termeni de impuls p:

În cazul în care această formulă poate fi reprezentată sub formă

Expresia rezultată diferă de expresia newtoniană pentru energia cinetică din termen

Rețineți că dintr-o comparație a expresiilor (67.5): și (68.7) formula urmează:

Să explicăm de ce unei particule libere ar trebui să i se atribuie energie (68.7), și nu doar energie cinetică (68.5). Energia în sensul ei trebuie să fie o cantitate conservată. Considerația corespunzătoare arată că în timpul ciocnirilor de particule suma (peste particule) expresiilor de forma (68.7) este conservată, în timp ce suma expresiilor (68.5) se dovedește a fi neconservată. Este imposibil de satisfăcut cerința de conservare a energiei în toate cadrele de referință inerțiale dacă energia de repaus (68.6) nu este luată în considerare ca parte a energiei totale.