Чем заняться на пенсии женщине чтобы. Чем заняться на пенсии чтобы заработать денег: примеры и советы

Это последний и самый главный урок, необходимый для решения задач B11. Мы уже знаем, как переводить углы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла »), а также умеем определять знак тригонометрической функции, ориентируясь по координатным четвертям (см. урок «Знаки тригонометрических функций »).

Дело осталось за малым: вычислить значение самой функции - то самое число, которое записывается в ответ. Здесь на помощь приходит основное тригонометрическое тождество.

Основное тригонометрическое тождество. Для любого угла α верно утверждение:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Эта формула связывает синус и косинус одного угла. Теперь, зная синус, мы легко найдем косинус - и наоборот. Достаточно извлечь квадратный корень:

Обратите внимание на знак «±» перед корнями. Дело в том, что из основного тригонометрического тождества непонятно, каким был исходный синус и косинус: положительным или отрицательным. Ведь возведение в квадрат - четная функция, которая «сжигает» все минусы (если они были).

Именно поэтому во всех задачах B11, которые встречаются в ЕГЭ по математике, обязательно есть дополнительные условия, которые помогают избавиться от неопределенности со знаками. Обычно это указание на координатную четверть, по которой можно определить знак.

Внимательный читатель наверняка спросит: «А как быть с тангенсом и котангенсом?» Напрямую вычислить эти функции из приведенных выше формул нельзя. Однако существуют важные следствия из основного тригонометрического тождества, которые уже содержат тангенсы и котангенсы. А именно:

Важное следствие: для любого угла α можно переписать основное тригонометрическое тождество следующим образом:

Эти уравнения легко выводятся из основного тождества - достаточно разделить обе стороны на cos 2 α (для получения тангенса) или на sin 2 α (для котангенса).

Рассмотрим все это на конкретных примерах. Ниже приведены настоящие задачи B11, которые взяты из пробных вариантов ЕГЭ по математике 2012.

Нам известен косинус, но неизвестен синус. Основное тригонометрическое тождество (в «чистом» виде) связывает как раз эти функции, поэтому будем работать с ним. Имеем:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.

Для решения задачи осталось найти знак синуса. Поскольку угол α ∈ (π /2; π ), то в градусной мере это записывается так: α ∈ (90°; 180°).

Следовательно, угол α лежит во II координатной четверти - все синусы там положительны. Поэтому sin α = 0,1.

Итак, нам известен синус, а надо найти косинус. Обе эти функции есть в основном тригонометрическом тождестве. Подставляем:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.

Осталось разобраться со знаком перед дробью. Что выбрать: плюс или минус? По условию, угол α принадлежит промежутку (π 3π /2). Переведем углы из радианной меры в градусную - получим: α ∈ (180°; 270°).

Очевидно, это III координатная четверть, где все косинусы отрицательны. Поэтому cos α = −0,5.

Задача. Найдите tg α , если известно следующее:

Тангенс и косинус связаны уравнением, следующим из основного тригонометрического тождества:

Получаем: tg α = ±3. Знак тангенса определяем по углу α . Известно, что α ∈ (3π /2; 2π ). Переведем углы из радианной меры в градусную - получим α ∈ (270°; 360°).

Очевидно, это IV координатная четверть, где все тангенсы отрицательны. Поэтому tg α = −3.

Задача. Найдите cos α , если известно следующее:

Снова известен синус и неизвестен косинус. Запишем основное тригонометрическое тождество:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.

Знак определяем по углу. Имеем: α ∈ (3π /2; 2π ). Переведем углы из градусной меры в радианную: α ∈ (270°; 360°) - это IV координатная четверть, косинусы там положительны. Следовательно, cos α = 0,6.

Задача. Найдите sin α , если известно следующее:

Запишем формулу, которая следует из основного тригонометрического тождества и напрямую связывает синус и котангенс:

Отсюда получаем, что sin 2 α = 1/25, т.е. sin α = ±1/5 = ±0,2. Известно, что угол α ∈ (0; π /2). В градусной мере это записывается так: α ∈ (0°; 90°) - I координатная четверть.

Итак, угол находится в I координатной четверти - все тригонометрические функции там положительны, поэтому sin α = 0,2.

В статье подробно рассказывается об основных тригонометрических тождествах.Эти равенства устанавливают связь между sin , cos , t g , c t g заданного угла. При известной одной функции можно через нее найти другую.

Тригонометрические тождества для рассмотрения в денной статье. Ниже покажем пример их выведения с объяснением.

sin 2 α + cos 2 α = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α · c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α

Поговорим о важном тригонометрическом тождестве, которое считается основой основ в тригонометрии.

sin 2 α + cos 2 α = 1

Заданные равенства t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α выводят из основного путем деления обеих частей на sin 2 α и cos 2 α . После чего получаем t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α и t g α · c t g α = 1 - это следствие определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Равенство sin 2 α + cos 2 α = 1 является основным тригонометрическим тождеством. Для его доказательства необходимо обратиться к теме с единичной окружностью.

Пусть даны координаты точки А (1 , 0) , которая после поворота на угол α становится в точку А 1 . По определению sin и cos точка А 1 получит координаты (cos α , sin α) . Так как А 1 находится в пределах единичной окружности, значит, координаты должны удовлетворят условию x 2 + y 2 = 1 этой окружности. Выражение cos 2 α + sin 2 α = 1 должно быть справедливым. Для этого необходимо доказать основное тригонометрическое тождество для всех углов поворота α .

В тригонометрии выражение sin 2 α + cos 2 α = 1 применяют как теорему Пифагора в тригонометрии. Для этого рассмотрим подробное доказательство.

Используя единичную окружность, поворачиваем точку А с координатами (1 , 0) вокруг центральной точки О на угол α . После поворота точка меняет координаты и становится равной А 1 (х, у) . Опускаем перпендикулярную прямую А 1 Н на О х из точки А 1 .

На рисунке отлично видно, что образовался прямоугольный треугольник О А 1 Н. По модулю катеты О А 1 Н и О Н равные, запись примет такой вид: | А 1 H | = | у | , | О Н | = | х | . Гипотенуза О А 1 имеет значение равное радиусу единичной окружности, | О А 1 | = 1 . Используя данное выражение, можем записать равенство по теореме Пифагора: | А 1 Н | 2 + | О Н | 2 = | О А 1 | 2 . Это равенство запишем как | y | 2 + | x | 2 = 1 2 , что означает y 2 + x 2 = 1 .

Используя определение sin α = y и cos α = x , подставим данные угла вместо координат точек и перейдем к неравенству sin 2 α + cos 2 α = 1 .

Основная связь между sin и cos угла возможна через данное тригонометрическое тождество. Таким образом, можно считать sin угла с известным cos и наоборот. Чтобы выполнить это, необходимо разрешать sin 2 α + cos 2 = 1 относительно sin и cos , тогда получим выражения вида sin α = ± 1 - cos 2 α и cos α = ± 1 - sin 2 α соответственно. Величина угла α определяет знак перед корнем выражения. Для подробного выяснения необходимо прочитать раздел вычисление синуса, косинуса, тангенса и котангенса с использованием тригонометрических формул.

Чаще всего основную формулу применяют для преобразований или упрощений тригонометрических выражений. Имеется возможность заменять сумму квадратов синуса и косинуса на 1 . Подстановка тождества может быть как в прямом, так и обратном порядке: единицу заменяют на выражение суммы квадратов синуса и косинуса.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Из определения косинуса и синуса, тангенса и котангенса видно, что они взаимосвязаны друг с другом, что позволяет отдельно преобразовывать необходимые величины.

t g α = sin α cos α c t g α = cos α sin α

Из определения синус является ординатой у, а косинус – абсциссой x . Тангенс – это и есть отношения ординаты и абсциссы. Таким образом имеем:

t g α = y x = sin α cos α , а выражение котангенса имеет обратное значение, то есть

c t g α = x y = cos α sin α .

Отсюда следует, что полученные тождества t g α = sin α cos α и c t g α = cos α sin α задаются с помощью sin и cos углов. Тангенс считаются отношением синуса к косинусу угла между ними, а котангенс наоборот.

Отметим, что t g α = sin α cos α и c t g α = cos α sin α верны для любого значение угла α , значения которого входят в диапазон. Из формулы t g α = sin α cos α значение угла α отлично от π 2 + π · z , а c t g α = cos α sin α принимает значение угла α , отличные от π · z , z принимает значение любого целого числа.

Связь между тангенсом и котангенсом

Имеется формула, которая показывает связь между углами через тангенс и котангенс. Данное тригонометрическое тождество является важным в тригонометрии и обозначается как t g α · c t g α = 1 . Оно имеет смысл при α с любым значением, кроме π 2 · z , иначе функции будут не определены.

Формула t g α · c t g α = 1 имеет свои особенности в доказательстве. Из определения мы имеем, что t g α = y x и c t g α = x y , отсюда получаем t g α · c t g α = y x · x y = 1 . Преобразовав выражение и подставив t g α = sin α cos α и c t g α = cos α sin α , получим t g α · c t g α = sin α cos α · cos α sin α = 1 .

Тогда выражение тангенса и котангенса имеет смысл того, когда в итоге получаем взаимно обратные числа.

Тангенс и косинус, котангенс и синус

Преобразовав основные тождества, приходим к выводу, что тангенс связан через косинус, а котангенс через синус. Это видно по формулам t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α .

Определение звучит так: сумма квадрата тангенса угла и 1 приравнивается к дроби, где в числителе имеем 1 , а в знаменателе квадрат косинуса данного угла, а сумма квадрата котангенса угла наоборот. Благодаря тригонометрическому тождеству sin 2 α + cos 2 α = 1 , можно разделить соответствующие стороны на cos 2 α и получить t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , где значение cos 2 α не должно равняться нулю. При делении на sin 2 α получим тождество 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α , где значение sin 2 α не должно равняться нулю.

Из приведенных выражений получили, что тождество t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α верно при всех значениях угла α , не принадлежащих π 2 + π · z , а 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α при значениях α , не принадлежащих промежутку π · z .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Если вы привыкли каждый день ходить на работу и выполнять круг определенных обязанностей, выйдя на пенсию, вы можете ощущать пустоту: ваше время теперь впервые принадлежит только вам. Но если грамотно организовать его, скучать вам точно не придется. Выход на пенсию не равнозначен прекращению активной жизни, наполненной интересными событиями. Теперь у вас появилась масса свободного времени, и вы можете посвятить его себе.

Займитесь своим здоровьем

Гиподинамия – бич нашего времени. Отсутствие физических нагрузок негативно отражается на работе всех систем организма. Результатом становятся вялые атрофированные мышцы, остеохондроз, нарушение обмена веществ, сердечно-сосудистые заболевания. И если у работающего человека зачастую не хватает времени на занятия спортом, то выход на пенсию решает эту проблему. Вы можете начать делать пробежки, записаться в бассейн или заняться йогой. Самый простой способ поддержания хорошего самочувствия – утренняя зарядка. Комплекс нетрудных упражнений, выполненный после пробуждения, наполнит весь ваш день зарядом энергии и позитива.

Начните правильно питаться

Общеизвестно, правильное питание – это залог здоровья и долголетия. И если у работающего человека нет возможности придерживаться основных правил правильного питания – есть часто, маленькими порциями, отдавать предпочтение блюдам, приготовленным на пару – то пенсионеру грех не воспользоваться таким шансом. Многие считают, что правильное питание требует приобретения каких-то дорогостоящих продуктов. Это не так – сезонные овощи и фрукты, нежирные мясо и рыба, молочные и кисломолочные продукты стоят недорого. А отказавшись от копченостей, сладкого и алкоголя, можно еще и существенно сэкономить.

Вспомните о ваших любимых занятиях

Если вам нравилось вязать, шить, плести кружева, выращивать , но времени на это никогда не хватало, то сейчас вы можете посвятить себя любимому делу полностью. Может быть, вы любите разгадывать кроссворды, решать ребусы и логические задачки – эти творческие занятия отлично подходят для повышения эрудиции, тренировки памяти и расширения кругозора.

Чтение литературы

Возможно, в молодости вы увлекались чтением книг любимых авторов, но в круговороте жизни забросили это занятие – сейчас самое время вспомнить о . Вы можете перечитать любимые классические произведения, или обратить свое внимание на новых авторов, публикующихся с недавнего времени. Не обязательно покупать дорогостоящие издания – вы можете записаться в библиотеку и брать книги там.

Прогулки и новые знакомства

Достижение пенсионного возраста – это далеко не конец жизни. Не укрывайтесь от окружающего мира в своей квартире. Даже располагая достаточно скромным бюджетом, можно найти занятие по душе. Чаще гуляйте, посещайте музеи, выставки, разнообразные курсы, клубы по интересам. Вы обязательно найдете единомышленников, с кем можете съездить на экскурсию или обсудить недавно просмотренный фильм.

Проводите время с близкими и родными

Наличие пенсионного удостоверения не делает вас менее любимым в кругу своей семьи и родственников. Наоборот, у вас стало больше времени на приятное общение с близкими людьми. Вы можете помочь вашим детям в воспитании внуков, а сами насладиться минутами, проведенными среди тех, кто вам дорог.

Наконец-то вы вышли на пенсию! Или, может, это событие было для вас вовсе не долгожданным? Вы боитесь, что вам будет нечем заняться на пенсии? Позвольте развеять ваши опасения и убедить вас в том, что на пенсии свободная, гармоничная, интересная жизнь только начинается..

У вас появилась масса свободного времени, которого так не хватало раньше, когда вы с 9 до 6 сидели на рабочем месте, а вечером бежали в детский сад за младшим ребенком и проверяли уроки у старшего. Теперь дети выросли, у них своя жизнь, ходить на работу не надо, и у вас возник вопрос «чем заняться на пенсии?»

Сразу скажем, что сайт сайт рассматривает только варианты времяпрепровождения, полезные для души и тела. Итак…

Если у вас за последние годы образовались непривлекательные складочки на талии, появился лишний вес, то сейчас самое время заняться собой. Начните с утренней гимнастики , если есть возможность – запишитесь в бассейн рядом с домом или на занятия йогой.

Для самых активных и смелых пенсионерок предлагаем ввести в привычку утренние пробежки.

Здесь главное – последовательность и постоянство. Если вы будете регулярно включать в свой распорядок дня физические упражнения, вопрос «чем заняться на пенсии» будет стоять не так уж остро: ведь свободного времени станет меньше!

Если вы когда-то неплохо вязали или начинали шить, но потом за неимением времени забросили, почему бы не вспомнить эти навыки сейчас? (А если и не пробовали никогда — попробуйте!) Разве не заманчиво выглядит перспектива нашить и навязать себе симпатичных уютных вещичек – от домашних халатов и юбок до свитеров и шапочек?

Продолжайте следить за модными трендами, ходите по магазинам. На распродажах можно недорого купить Модные журналы и Интернет подскажут вам, какие аксессуары подобрать, как обновить имеющиеся в гардеробе вещи.

А там, глядишь, и выбросите из шкафов то, что уже устарело или надоело вам.

Выход на пенсию – не повод выглядеть некрасиво и немодно!

Полезная и здоровая пища – залог активного долголетия. Если до пенсии вы постоянно перекусывали на бегу, ели всухомятку, злоупотребляли неполезными продуктами, то заняться на пенсии правильным питанием — это ваша обязанность перед собственным организмом.

Полезные продукты (крупы, кисломолочные продукты, овощи и фрукты в сезон, нежирные сорта мяса и рыбы) стоят не так уж дорого, особенно если исключить из своего рациона колбасу, копчености, жирное мясо, сладости.

Составьте меню и распишите, сколько и каких продуктов вам понадобится. Закупайте продукты в разных магазинах, сохраняйте чеки. Ведите дневник своих покупок в течение месяца, и по истечении этого срока вы увидите, сколько денег реально у вас уходит на продукты и где покупать их дешевле.

Начните коллекционировать и осваивать рецепты именно . Приятным бонусом вам станет отличное самочувствие и улучшившееся пищеварение.

Да-да, вот такой неожиданный, но очень эффективный совет.

Что делают пенсионерки, сидя дома? Смотрят телевизор, а именно сериалы, ток-шоу, криминальные новости и прочие «засоряющие мозги» передачи. А в результате отупение, усталость, негативные эмоции…

Оно вам надо? Вам необходимо заниматься на пенсии чем-то позитивным, жизнеутверждающим и дарящим приятные эмоции. Вот мы и призываем перечитать вечную, никогда не устаревающую классику – когда вы работали, много ли у вас было времени на это?

Лермонтов, Гоголь, Куприн, Бунин, Шукшин – вспомните этих авторов, если вы читали их когда-то давно, или откройте для себя дивный мир русской литературы в первый раз!

При этом совершенно не обязательно покупать дорогие тома в красивых обложках в магазине — просто сходите в библиотеку!

Мы уверены: чтение – это такое занятие на пенсии, которое не даст вам скучать!

Вот еще один совет, чем занять себя на пенсии – не замыкайтесь в четырех стенах.

Подойдут любые виды прогулок – в парке, по улицам города, в музеи и на выставки. Сходите на те улицы, где вы давно не были, посмотрите, как они изменились.

Найдите в библиотеке хорошую книгу по истории вашего города и прогуляйтесь по тем местам, которые в ней описываются.

Не пропускайте выставки и экспозиции (о них обычно пишут в газетах и сообщают в новостях) – вы можете посетить их в будний день без спешки и толкучки. Найдите себе единомышленников, с которыми вы сможете сходить на длительную пешую прогулку на природе или съездить в соседние города на экскурсию.

Воспользуйтесь возможностями Интернета – даже если финансы не позволяют съездить туда, куда хочется, вы всегда можете проложить свой собственный виртуальный маршрут по замкам Франции или фьордам Норвегии.

Итак, подведем итоги для наших читательниц — чем заняться на пенсии? Любым делом, которое дарит вам позитивные эмоции , способствует хорошему самочувствию, бодрости духа и укреплению здоровья. Наполняйте каждый свой день таким делами и скучать и хандрить на пенсии вам точно не придется.

Кому за 30 – клуб для женщин после 30.