Корреляционное отношение формула. Коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение

Корреляционный анализ предполагает измерение тесноты связи с помощью коэффициента корреляции и корреляционного отношения. При линейной форме зависимости силу связи оценивает коэффициент корреляции Пирсона :

Коэффициент корреляции изменяется в пределах от (– 1) до (+ 1), (– 1  r  1).

Отрицательный знак показателя свидетельствует об обратной связи, положительный – о прямой связи. Чем ближе значение показателя к единице, по модулю, тем связь сильнее, чем ближе к нулю, тем связь слабее.

Для измерения силы связи при любой форме зависимости, как линейной, так и нелинейной, а также для оценки множественной связи применяют теоретическое корреляционное отношение (индекс корреляции). В основе его расчета лежит правило сложения дисперсии:

где – общая дисперсия – отражает вариацию результативного признака за счет всех действующих на него факторов;

или

–факторная дисперсия , отражает вариацию результативного признака за счет фактора (х) .

–остаточная дисперсия , отражает вариацию результативного признака за счет всех факторов, кроме фактора (х) ;

Теоретическое корреляционное отношение – это корень квадратный из отношения факторной дисперсии к общей дисперсии:

Подкоренное выражение – коэффициент детерминации :

показывает долю вариации результативного признака, обусловленную влиянием факторного признака, в общей вариации. Чем эта доля выше, тем связь между признаками сильнее.

Теоретическое корреляционное отношение изменяется от 0 до 1 (0  R  1) .Чем значение показателя ближе к единице, тем связь сильнее.

Для оценки тесноты связи можно воспользоваться шкалой Чеддока :

Основная тенденция развития и методы ее выявления

Каждый ряд динамики имеет свою тенденцию развития, т.е. общее направление к росту, снижению или стабилизации уровня явления с течением времени. Степень выраженности этой тенденции зависит от влияния постоянных, периодических (сезонных) и случайных факторов на уровни ряда динамики. Поэтому следует говорить не просто о тенденции развития, а об основной тенденции.

Основной тенденцией развития (трендом) называется плавное и устойчивое изменение уровня явления во времени, свободное от периодических и случайных колебаний .

Для выявления тренда ряды динамики подвергаются обработке методами укрупнения интервалов, скользящей средней, аналитического выравнивания.

Метод укрупнения интервалов основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики. Для этого исходные данные объединяются, т.е. суммируются или усредняются за более продолжительные интервалы времени, пока общая тенденция развития не станет достаточно отчетливой. Например, дневные данные о производстве продукции объединяются в декадные, месячные в квартальные, годовые в многолетние. Достоинство метода в его простоте. Недостаток в том, что сглаженный ряд существенно короче исходного.

Метод скользящей средней состоит в том, что на основе исходных данных рассчитываются подвижные средние из определенного числа сначала первых по счету уровней ряда, затем из такого же числа уровней, начиная со второго, с третьего и т.д. Средняя величина как бы скользит по динамическому ряду, передвигаясь на один интервал. В скользящих средних сглаживаются случайные колебания.

Схема расчета 3-х уровневой скользящей средней величины

Интервал времени (номер по порядку)	Фактические уровни ряда динамики у i	Скользящие средние у ск
	у 1
	у 2
	у 3
	у 4	у ск3
	у 5	у ск4
	у 6

Сглаженный ряд динамики короче исходного на величину (l – 1) , если укрупнение производится по нечетному числу уровней, где l – длина периода укрупнения. Например, если l = 3, то выровненный ряд на 2 уровня короче. Таким образом сглаженный ряд не на много короче исходного.

Метод аналитического выравнивания заключается в замене фактических уровней ряда динамики их теоретическими значениями, вычисленными на основе уравнения тренда:

Расчет параметров уравнения производится методом наименьших квадратов:

где у – фактические уровни;у ti – соответствующие им во времени выровненные (расчетные) уровни.

Если развитие осуществляется в арифметической прогрессии (с равными цепными абсолютными приростами), то для выравнивания используют линейную функцию :

Если наблюдается динамика в геометрической прогрессии, (с равными цепными темпами роста), то необходимо использовать показательную функцию :

у t = а 0 а 1 t .

Если развитие происходит с равными темпами прироста, используется степенная функция , например второго порядка (парабола):

у t = а 0 + а 1 t + а 2 t 2 .

Критерием правильности выбора уравнения тренда служит ошибка аппроксимации . Она представляет собой среднее квадратическое отклонение фактических уровней ряда динамики от теоретических:

Оптимальным считается уравнение с наименьшей ошибкой аппроксимации.

Рассмотрим «технику» выравнивания ряда динамики по линейной функции :



где а 0 , а 1 – параметры уравнения прямой; t – показатели времени (как правило, порядковый номер периода или момента времени).

Параметры прямой а 0 и а 1 , удовлетворяющие методу наименьших квадратов, находят решением следующей системы нормальных уравнений:

где n – число уровней ряда динамики; параметр а 1 соответствует среднему абсолютному приросту.

Для упрощения расчета показателям времени
можно придать такие значения, при которых
, тогда

Для этого в рядах с нечетным числом уровней за начало отсчета времени принимают центральный интервал, где t приравнивают к нулю. По обе стороны от нуля располагают соответственно ряды отрицательных и положительных натуральных чисел, например:

Интервал времени (номер по порядку)	t i

При четном числе уровней отсчет ведется от двух центральных интервалов, в которых t приравнено к (-1) и (+1) соответственно, а по обе стороны располагаются ряды отрицательных и положительных нечетных чисел, например:

Интервал времени (номер по порядку)	t i

Схема расчета параметров линейного уравнения

Интервалы времени	Уровни ряда динамики у i	t i	i t 2	у i t i	у ti

На основе исчисленного уравнения тренда можно производить экстраполяцию – нахождение вероятностных (прогнозируемых) уровней за пределами исходного ряда динамики.

Суть состоит в следующем: этот показатель измеряет меру зависимости вариации одной величины от многих других. Он применяется для оценки качества линейной регрессии.

Формула расчета:

R^2 \equiv 1-{\sum_i (y_i — f_i)^2 \over \sum_i (y_i-\bar{y})^2},

• \bar{y} – ср. арифметическое зависимой переменной;
• fi – знач. зависимой переменной, предполагаемое по уравнению регрессии;
• yi – значение исследуемой зависимой переменной.

Детерминация, что это такое — определение

Коэффициент детерминации – часть дисперсии переменной (зависимой), которая обуславливается конкретной моделью зависимости. Так эта единица поможет вычесть долю необъясненной дисперсии в дисперсии зависимой переменной.

Данный показатель может принимать значения в пределах от 0 до 1. Чем его значение ближе к 1, тем связаннее результативный признак с исследуемыми факторами.

Т.к. преступление является результатом связи поведения и личностных качеств, этот показатель в деятельности заинтересованных органов рассчитывается для оценки качества преступного поведения, дает представление, что послужило вероятностной причиной преступления, что является мотивацией, какие этому были причины и условия.

Коэффициент детерминации, что показывает?

Этот коэффициент показывает варианты результативного признака от влияния факторного признака, он тесно связан с числом корреляции. Если связь отсутствует, то показатель равняется нулю, при ее наличии – единице.
Есть определение детерминизма как принципа устройства мира. Основой этого представления является взаимосвязанность всех явления. Это учение отрицает существование вещей вне взаимосвязи с миром.

Противоположностью является индетерминизм, он связан с отрицанием объективных отношений детерминации, или отрицанием причинности.

Генетический детерминизм – вера в то, что любой организм развивается под генетическим контролем.

Под детерминантами преступности в криминологии понимают социальные явления, действия которых могут вызвать преступность.

С помощью расчетов такого рода можно оценить вероятностное социокультурное влияние различных факторов на развитие личности и предположить, как себя будет вести человек, например, в деловом общении, объективно оценить, подходит ли он для государственного управления, или воинской службы.

Так же коэффициент определяет, правильно ли выбран индекс для подсчета коэффициентов бета и альфа. Если в % цифра ниже 75 к определенному индексу, значения бета и альфа к нему будут некорректны.

Индекс детерминации

Индекс детерминации – это квадрат инд. корреляции нелинейных связей. Этим значением характеризуют, на какое количество процентов моделью регрессии объясняются варианты показателей результативной переменной по отношению к своему среднему уровню.

Формула

Коэффициент детерминации скорректированный

Суть данного понятия состоит в следующем: этот индекс показывает долю дисперсии (общей) результативной переменной, объясняющей вариантами факторных переменных, включаемых в модель регрессии: (с увеличением, уменьшением).

Эмпирическое корреляционное отношение

Теснота или сила связи между двумя признаками может быть измерена показателем, называемым эмпирическим корреляционным отношением. Этот показатель назван эмпирическим, поскольку он может быть рассчитан на основе обычной группировки по факторному и результативному признаку, то есть на основе корреляционной таблицы. Эмпирическое корреляционное отношение получается из правила сложения дисперсий, согласно которому , где
- общая дисперсия;
- межгрупповая дисперсия;
- внутригрупповая (средняя из частных) дисперсия. Межгрупповая дисперсия является мерой колеблемости, обусловленной факторным признаком. Средняя из частных дисперсий является мерой колеблемости, обусловленной всеми остальными(кроме факторного) признаками. Тогда отношение
выражает долю колеблемости, возникающей за счет факторного признака, в общей колеблемости. Квадратный корень из этого отношения и называется эмпирическим корреляционным отношением:
.

Отсюда следует правило, что чем больше межгрупповая дисперсия, тем сильнее факторный признак влияет на вариации результативного признака. Составляющие отношения дисперсий вычисляются по данным корреляционной таблицы по следующим формулам:

;
,

где - частные средние; - общая средняя; - итоги по признаку ; - итоги по признаку ;
- число наблюдений. То же соотношение сохраняется и для условных значений , полученных числовым преобразованием .

Само отношение дисперсий (подкоренное выражение) называется коэффициентом детерминации (оно равно также квадрату эмпирического корреляционного отношения). Эмпирическое корреляционное отношение изменяется в широких пределах (от 0 до 1). Если оно равно нулю, значит факторный признак на корреляционный не влияет. Если =1, значит, результативный признак полностью зависит от факторного. Если же эмпирическое корреляционное отношение представляет дробь, близкую единице, то говорят о тесной связи между факторным и результативным признаками. Если эта дробь мала (близка нулю), то говорят о слабой связи между ними.

Коэффициент линейной корреляции и индекс корреляции

Мерой тесноты связи между двумя статистически связанными признаками служит коэффициент линейной корреляции или просто коэффициент корреляции. Он имеет тот же смысл, что и эмпирическое корреляционное отношение, но может принимать как положительное, так и отрицательное значение. Коэффициент корреляции имеет строгое математическое выражение для линейной связи. Положительное значение будет указывать на прямую связь между признаками, отрицательное – на обратную.

Парный коэффициент корреляции в случае линейной формы связи вычисляют по формуле

а его выборочное значение – по формуле

При малом числе наблюдений выборочный коэффициент корреляции удобно вычислять по следующей формуле:

Величина коэффициента корреляции изменяется в интервале
.

При
между двумя переменными существует функциональная связь, при
- прямая функциональная связь. Если
, то значение Х и У в выборке некоррелированы; в случае, если система случайных величин
имеет двумерное нормальное распределение, то величины Х и У будут и независимыми.

Если коэффициент корреляции находится в интервале
, то между величинами Х и У существует обратная корреляционная связь. Это находит подтверждение и при визуальном анализе исходной информации. В этом случае отклонение величины У от среднего значения взяты с обратным знаком.

Если каждая пара значений величин Х и У чаще всего одновременно оказывается выше (ниже) соответствующих средних значений, то между величинами существует прямая корреляционная связь и коэффициент корреляции находится в интервале
.

Если же отклонение величины Х от среднего значения одинаково часто вызывают отклонения величины У вниз от среднего значения и при этом отклонения оказываются все время различными, то можно предполагать, что значение коэффициента корреляции стремится к нулю.

Следует отметить, что значение коэффициента корреляции не зависит от единиц измерения и выбора начала отсчета. Это означает, что если переменные Х и У уменьшить (увеличить) в К раз либо на одно и то же число С, то коэффициент корреляции не изменится.

Для упрощения расчетов меры тесноты корреляционной связи часто применяется индекс корреляционной связи, который определяется по следующим формулам:

,
,

где
- остаточная дисперсия, характеризующая вариацию результативного признака под влиянием прочих неучтенных факторов.

Множественная корреляция

Множественная корреляция – зависимость результативного и двух или более факторных признаков, включенных в исследование. Показатель тесноты связи между результативным и двумя или более факторными признаками называется множественным или совокупным коэффициентом корреляции и обозначается R. Совокупный коэффициент предполагает наличие линейной связи между каждой парой признаков, которая может быть выражена при помощи парных коэффициентов корреляции. Если находится совокупная мера тесноты связи между результативным признаком () и двумя факторными признаками( и ), то расчет совокупного коэффициента корреляции ведется по формуле:

,

Где подстрочные знаки обозначают, между какими признаками изучается парная связь.

В формулах расчетов парных коэффициентов корреляции изменяются лишь символы, обозначающие тот или иной фактор. Так, если коэффициент корреляции между и вычисляется по формуле , то коэффициент корреляции между и вычисляется: ; между и - так:

Расчетная часть

Задание 31

Имеются следующие данные по десяти предприятиям за отчетный период:

Таблица 2

Предприятия	Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб.	Выпуск продукции, млн. руб.

Для изучения связи между размером среднегодовой стоимости основных производственных фондов и выпуском продукции вычислите линейное уравнение связи.

2. По приведенным данным: а) вычислите: линейный коэффициент корреляции; б) проверьте правильность выбора формы связи, исчислив индекс корреляции.

С помощью табличного процессора Microsoft Excel построим рабочую таблицу:

Таблица 3

Расчет сумм для вычисления параметров уравнения прямой

					239,74 *1236 = 539,1 распределения вероятностей... экономического анализа , решаемые на основе регрессионных экономических моделей. Рассмотрим у – результативный признак, а х – факторные признаки. Методы корреляционно -регрессионного анализа ... Программа дисциплины «Компьютерные методы анализа социологических данных» (Введение в математическую статистику и анализ данных) Для направления 040200. 68 "Социология" Программа дисциплины Применения. 11 3 2 6 Дисперсионный анализ 9 2 2 5 Парный и множественный регрессионный анализ 9 2 2 5 Свойства коэффициентов... пользователя SPSS 11.0 Сиськов В.И. Корреляционный анализ в экономических исследованиях . М. 1975. Эддоус М., Стэнсфилд... Г. Л. Савицкая анализ хозяйственной деятельности предприятия Документ Передового опыта, новейшие методы экономических исследований . Анализ должен быть комплексным. Комплексность исследо... на уровень среднечасовой выработки корреляционно -регрессионный анализ . В многофакторную корреляционную модель среднечасовой выра­ботки...

3. Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается по формуле

Межгрупповая дисперсия, характеризующая величину из квадрат отклонения групповых средних от общего среднего результативного признака.

Общая дисперсия, показывающая среднюю величину из квадратов отклонений значения результативного признака от их среднего уровня.

Построим таблицу для вычисления общей дисперсии (см. табл.8)

Таблица 8

Таблица данных для определения общей дисперсии

N,п/п	Расходы на продукты питания
1	21	441
2	16	256
3	26,1	681,21
4	28	784
5	26	676
6	22,5	506,25
7	27,6	761,76
8	35	1225
9	23,9	571,21
10	22,5	506,25
11	15	225
12	25,2	635,04
13	29	841
14	21,4	457,96
15	24,9	620,01
16	24,8	615,04
17	16	256
18	23,6	556,96
19	27,2	739,84
20	35	1225
21	17	289
22	23,8	566,44
23	22,6	510,76
24	25	625
25	27	729
26	30	900
27	35	1225
28	25,4	645,16
29	27,2	739,84
30	26,3	691,69
Всего	750	19502,42

Общая дисперсия результативного признака вычисляется по формуле:

=

Межгрупповая дисперсия вычисляется по формуле:

Построим вспомогательную таблицу для вычисления данных (см. табл.9)

Таблица 9

Таблица данных для расчета межгрупповой дисперсии

Номер группы		Количество домохозяйств, шт	Расходы на продукты питания, тыс.руб
			Всего	В среднем на одно домохозяйство
		f
1	28-40	3	48	16	-9	81	243
2	40-52	5	105	21	-4	16	80
3	52-64	12	300	25	0	0	0
4	64-76	6	165	27,5	2,5	6,25	37,5
5	76-88	4	132	33	8	64	256
Всего		30	750				616,5

Вывод: связь между факторами весьма тесная, т.к. принимает значения от 0,9 до 0,99.

Коэффициент детерминации – это квадрат эмпирического корреляционного отношения. Следовательно,

(81,9%)

Вывод: выпуск продукции на данных предприятиях на 81,9% зависит от фондоотдачи и на 18,1 % от других факторов.

Задание 3

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,9543 определите:

1. Ошибку выборки среднего валового дохода на одного члена домохозяйства в год и границы, в которых будет он находиться в генеральной совокупности.

2. Ошибку выборки доли домохозяйств с уровнем валового дохода менее 52 тыс руб. и более млн. руб. и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

1. Ошибка выборки для средней определяем по формуле:

, где

дисперсия выборочной совокупности;

n- численность выборки;

t- коэффициент доверия, который определяется по таблице значений интегральной функции Лапласа при заданной вероятности. В данном случае при Р=0,954 значение t=2.

N-число единиц в генеральной совокупности, N=6000 шт.

Рассчитаем дисперсию. Данные представим в виде таблицы (см. табл.11).

Таблица 11

Данные для расчета дисперсии уровня фондоотдачи

Номер группы	Группировка домохозяйств по валовому доходу	Количество домохозяйств, шт
		f
1	28-40	3	34	-25,1	630,01	1890,03
2	40-52	5	46	-13,1	171,61	858,05
3	52-64	12	58	-1,1	1,21	14,52
4	64-76	6	70	10,9	118,81	712,86
5	76-88	4	82	22,9	524,41	2097,64
Всего		30				5573,1

Что понимается под внутригрупповой дисперсией для совокупности? Какова формула ее расчета? Приведите пример. Что понимается под межгрупповой дисперсией совокупности? Какова формула ее расчета? Приведите пример.

Внутригрупповая дисперсия () свидетельствует о случайной вариации, которая не зависит от признака, положенного в основу группировки.

, где

Средняя величина в группе

Средняя внутригрупповая дисперсия рассчитывается следующим образом: сначала рассчитываются дисперсии по отдельным группам (), затем рассчитывается средняя внутригрупповая дисперсия :

Характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине исследуемого признака, который положен в основу группировки. Эта дисперсия рассчитывается по формуле

, где

Средняя величина по отдельной группе

n i - число единиц в группе

- общая средняя арифметическая всей исследуемой совокупности.

Все три вида дисперсии связаны между собой: общая дисперсия равна сумме средней внутригрупповой дисперсии и межгрупповой дисперсии:

Данное соотношение отражает закон, который называют правилом сложения дисперсий .

20.

Что понимается под общей дисперсией совокупности? Какова формула ее расчета? Влияет ли способ разделения на группы на значения общей дисперсии? Приведите пример.

Общая дисперсия () характеризует вариацию признака всей совокупности под влиянием всех тех факторов, которые обусловили данную вариацию. Эта величина определяется по формуле

, где

общая средняя арифметическая всей исследуемой совокупности.

С другой стороны общая дисперсия равна сумме средней внутригрупповой дисперсии и межгрупповой дисперсии:

Данное соотношение отражает закон, который называют правилом сложения дисперсий .. Благодаря правилу сложения дисперсий можно определить, какая часть общей дисперсии находится под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки.

Чем выше доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии , тем сильнее влияние факторного признака (разряда) на результативный (выработку).

Эта доля характеризуется эмпирическим коэффициентом детерминации:

Для качественной оценки тесноты связи между признаками пользуются соотношениями Чэддока .

		0-0,2	0,2-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,99
Сила связи	отсутствует	очень слабая	слабая	умеренная	заметная	тесная	весьма тесная	функцио - нальная

21.

Что показывает коэффициент детерминации? Какова формула его расчета? В каких единицах измеряется этот показатель? Каковы возможные значения этого показателя? Что показывает эмпирическое корреляционное отношение? Какова формула его расчета? В каких единицах измеряется этот показатель? Каковы возможные значения этого показателя?

Эмпирический коэффициент детерминации () характеризует долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии:

Принимает значения -1 до 1 и показывает, насколько вариация признака в совокупности обусловлена фактором группировки.

Межгрупповая дисперсия;

Общая дисперсия.

Определяется по формуле:

Принимает значения -1 до 1

Пример

Группа	Количество заводов в группе, шт.	Средняя валовая продукция в сопоставимых ценах , млн. руб.

Определим теперь среднее значение, общую дисперсию, и межгрупповую дисперсию валовой продукции в сопоставимых ценах заводов:

млн. руб.;

Млн. руб.2;

Млн. руб.2.

Коэффициент детерминации будет равен:

В результате эмпирическое корреляционное отношение будет равно:

Рассчитанное значение эмпирического корреляционного отношения свидетельствует о достаточно высокой статистической связи между валовой продукцией в сопоставимых ценах и среднегодовой стоимостью основных производственных фондов заводов.

22.

Как рассчитывается статистика критерия в однофакторном дисперсионном анализе? Каков закон ее распределения при справедливости основной гипотезы? Чем определяются параметры этого закона? Как принимается решение в однофакторном дисперсионном анализе по рассчитанному значению статистики критерия?

Задачей дисперсионного анализа является изучение влияния одного или нескольких факторов на рассматриваемый признак.

Однофакторный дисперсионный анализ используется в тех случаях, когда есть в распоряжении три или более независимые выборки, полученные из одной генеральной совокупности путем изменения какого-либо независимого фактора, для которого по каким-либо причинам нет количественных измерений.

В качестве критерия необходимо воспользоваться критерием Фишера:

., где

Q 1 – сумма квадратов отклонений выборочных средних от общего среднего

Q 2 – сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от выборочной средней

Если расчетное значение критерия Фишера будет меньше, чем табличное значение – нет оснований считать, что независимый фактор оказывает влияние на разброс средних значений (т.е. гипотеза не подтвердилась ). В противном случае, независимый фактор оказывает существенное влияние на разброс средних значений (гипотеза справедлива ).

23-25.

1. При равных интервалах используют среднюю арифметическую простую:

где у - абсолютные уровни ряда;
n - число уровней ряда.
2. При неравных интервалах используют среднюю арифметическую взвешенную:

где у1 ,...,уn - уровни ряда динамики;
t1,... tn - веса, длительность интервалов времени.

Средний уровень моментного ряда динамики рассчитывается по формуле:
1. С равностоящими уровнями рассчитывается по формуле средней хронологической моментного ряда:

где у1 ,...,уn - уровни периода, за который делается расчет;
n - число уровней;
n-1 - длительность периода времени.
2. С неравностоящими уровнями рассчитывается по формуле средней хронологической взвешенной:

где у1 ,...,уn - уровни рядов динамики;
t - интервал времени между смежными уровнями

в задачах статистики

Средний абсолютный прирост определяется как среднее из абсолютных приростов за равные промежутки времени одного периода. Он рассчитывается по формулам: 1. По цепным данным об абсолютных приростах за ряд лет рассчитывают средний абсолютный прирост как среднюю арифметическую простую:

где n - число степенных абсолютных приростов в исследуемом периоде.
2. Средний абсолютный прирост рассчитывают через базисный абсолютный прирост в сл учае равных интервалов

где m - число уровней ряда динамики в исследуемом периоде, включая базисный .

Средний темп роста есть свободная обобщающая характеристика интенсивности изменения уровней ряда динамики и показывает, во сколько раз в среднем за единицу времени изменяется уровень ряда динамики.
В качестве основы и критерия правильности вычисления среднего темпа роста (снижения) применяется обобщающий показатель, который рассчитывается как произведение цепных темпов роста, равное темпу роста за весь рассматриваемый период. Если значение признака образуется как произведение отдельных вариантов, то используют среднюю геометрическую.
Так как средний темп роста представляет собой средний коэффициент роста, выражен в процентах, то для равностоящих рядов динамики расчеты по средней геометрической сводятся к вычислению средних коэффициентов роста из цепных по «цепному способу»:

где n - число цепных коэффициентов роста;
Кц - цепные коэффициенты роста;
Кб - базисный коэффициент роста за весь период.
Определение среднего коэффициента роста может быть упрощено, если будут ясны уровни динамического ряда. Так как произведение цепных коэффициентов роста равно базисному , то в подкоренное выражение подставляют базисный коэффициент роста.
Формула для определения среднего коэффициента роста для равностоящих рядов динамики по «базисному способу» будет такая:

36.

Какие Вам известны абсолютные показатели изменения уровня ряда?

Все эти показатели могут определяться базисным способом, когда уровень данного периода сравнивается с первым (базисным) периодом, либо цепным способом – когда сравниваются два уровня соседних периодов.

Напишите формулы расчета.

Базисное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и первого уровней ряда, определяется по формуле

Оно показывает, на сколько (в единицах показателей ряда) уровень одного (i-того) периода больше или меньше первого (базисного) уровня, и, следовательно, может иметь знак «+» (при увеличении уровней) или «–» (при уменьшении уровней).

Цепное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и предыдущего уровней ряда, определяется по формуле

Оно показывает, на сколько (в единицах показателей ряда) уровень одного (i-того) периода больше или меньше предыдущего уровня, и может иметь знак «+» или «–».

Поясните, как зависит способ расчета от выбора базы сравнения.

Какие Вам известны относительные показатели изменения уровня ряда? Напишите формулы расчета.

Базисное относительное изменение (базисный темп роста или базисный индекс динамики) представляет собой соотношение конкретного и первого уровней ряда, определяясь по формуле

Цепное относительное изменение (цепной темп роста или цепной индекс динамики) представляет собой соотношение конкретного и предыдущего уровней ряда, определяясь по формуле

Поясните, как зависит способ расчета от выбора базы сравнения.

Относительное изменение показывает во сколько раз уровень данного периода больше уровня какого-либо предшествующего периода (при i >1) или какую его часть составляет (при i <1). Относительное изменение может выражаться в виде коэффициентов, то есть простого кратного отношения(если база сравнения принимается за единицу), и в процентах (если база сравнения принимается за 100 единиц) путем домножения относительного изменения на 100%.

37.

Какие Вам известны средние показатели изменения уровня ряда? Напишите формулы расчета среднего абсолютного прироста, темпа роста и темпа прироста уровней ряда.

Средний абсолютный прирост определяется как среднее из абсолютных приростов за равные промежутки времени одного периода. Он рассчитывается по формулам: 1. По цепным данным об абсолютных приростах за ряд лет рассчитывают средний абсолютный прирост как среднюю арифметическую простую:

где n - число степенных абсолютных приростов в исследуемом периоде.

2. Средний абсолютный прирост рассчитывают через базисный абсолютный прирост в сл учае равных интервалов

где m - число уровней ряда динамики в исследуемом периоде, включая базисный .

Средний темп роста есть свободная обобщающая характеристика интенсивности изменения уровней ряда динамики и показывает, во сколько раз в среднем за единицу времени изменяется уровень ряда динамики.

В качестве основы и критерия правильности вычисления среднего темпа роста (снижения) применяется обобщающий показатель, который рассчитывается как произведение цепных темпов роста, равное темпу роста за весь рассматриваемый период. Если значение признака образуется как произведение отдельных вариантов, то используют среднюю геометрическую.

Так как средний темп роста представляет собой средний коэффициент роста, выражен в процентах, то для равностоящих рядов динамики расчеты по средней геометрической сводятся к вычислению средних коэффициентов роста из цепных по «цепному способу»:

где n - число цепных коэффициентов роста;

Кц - цепные коэффициенты роста;

Кб - базисный коэффициент роста за весь период.

Темп изменения (темп прироста) уровней – относительный показатель, показывающий, на сколько процентов данный уровень больше (или меньше) другого, принимаемого за базу сравнения. Он рассчитывается путем вычитания из относительного изменения 100%, то есть по формуле:

или как процентное отношение абсолютного изменения к тому уровню, по сравнению с которым рассчитано абсолютное изменение (базисный уровень), то есть по формуле:

.

Каким недостатком обладают эти показатели? В каких случаях целесообразно их использование? Как указанные недостатки могут быть устранены? Напишите формулы расчёта средних показателей, обеспечивающих сохранение суммарного значения ряда.

38.

Как по значениям показателей изменения уровней ряда определить вид основной тенденции? Приведите примеры.

Выявление общей тенденции ряда динамики можно произвести путем сглаживания ряда динамики с помощью метода скользящей средней. Сущность этого приема состоит в том, что по исходным уровням ряда (эмпирическим данным) определяют расчетные (теоретические) уровни.

Основное условие применения этого метода состоит в вычислении звеньев подвижной (скользящей) средней из такого числа уровней ряда, которое соответствует длительности наблюдаемых в ряду динамики циклов.