Из двух колец в одно примеры. Простейшие свойства колец

В различных разделах математики, а также в применении математики в технике, часто встречается ситуация, когда алгебраические операции производятся не над числами, а над объектами иной природы. Например сложение матриц, умножение матриц, сложение векторов, операции над многочленами, операции над линейными преобразованиями и т.д.

Определение 1. Кольцом называется множество математических объектов, в котором определены два действия − "сложение" и "умножение", которые сопоставляют упорядоченным парам элементов их "сумму" и "произведение", являющиеся элементами того же множества. Данные действия удовлетворяют следующим требованиям:

1. a+b=b+a (коммутативность сложения).

2. (a+b)+c=a+(b+c) (ассоциативность сложения).

3. Существует нулевой элемент 0 такой, что a +0=a , при любом a .

4. Для любого a существует противоположный элемент −a такой, что a +(−a )=0.

5. (a+b)c=ac+bc (левая дистрибутивность).

5". c(a+b)=ca+cb (правая дистрибутивность).

Требования 2, 3, 4 означают, что множество математических объектов образует группу , а вместе с пунктом 1 мы имеем дело с коммутативной (абелевой) группой относительно сложения.

Как видно из определения, в общем определении кольца на умножения не накладывается никаких ограничений, кроме дистрибутивности со сложением. Однако при различных ситуациях возникает необходимость рассматривать кольца с дополнительными требованиями.

6. (ab)c=a(bc) (ассоциативность умножения).

7. ab=ba (коммутативность умножения).

8. Существование единичного элемента 1, т.е. такого a ·1=1·a=a , для любого элемента a .

9. Для любого элемента элемента a существует обратный элемент a −1 такой, что aa −1 =a −1 a= 1.

В различных кольцах 6, 7, 8, 9 могут выполняться как отдельно так и в различных комбинациях.

Кольцо называется ассоциативным, если выполняется условие 6, коммутативным, если выполнено условие 7, коммутативным и ассоциативным если выполнены условия 6 и 7. Кольцо называется кольцом с единицей, если выполнено условие 8.

Примеры колец:

1. Множество квадратных матриц.

Действительно. Выполнение пунктов 1-5, 5" очевидна. Нулевым элементом является нулевая матрица. Кроме этого выполняется пункт 6 (ассоциативность умножения), пункт 8 (единичным элементом является единичная матрица). Пункты 7 и 9 не выполняются т.к. в общем случае умножение квадратных матриц некоммутативна, а также не всегда существует обратное к квадратной матрице.

2. Множество всех комплексных чисел.

3. Множество всех действительных чисел.

4. Множество всех рациональных чисел.

5. Множество всех целых чисел.

Определение 2. Всякая система чисел, содержащая сумму, разность и произведение любых двух своих чисел, называется числовым кольцом .

Примеры 2-5 являются числовыми кольцами. Числовыми кольцами являются также все четные числа, а также все целые числа делящихся без остатка на некоторое натуральное число n. Отметим, что множество нечетных чисел не является кольцом т.к. сумма двух нечетных чисел является четным числом.

Определение 4.1.1. Кольцо (K , +, ) – это алгебраическая система с непустым множеством K и двумя бинарными алгебраическими операциями на нем, которые будем называть сложением и умножением . Кольцо является абелевой аддитивной группой, а умножение и сложение связаны законами дистрибутивности: (a + b )  c = a  c + b  c и с  (a + b ) = c  a + c  b для произвольных a , b , c  K .

Пример 4.1.1. Приведем примеры колец.

1. (Z , +, ), (Q , +, ), (R , +, ), (C , +, ) – соответственно кольца целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел с обычными операциями сложения и умножения. Данные кольца называются числовыми .

2. (Z / n Z , +, ) – кольцо классов вычетов по модулю n  N с операциями сложения и умножения.

3. Множество M n (K ) всех квадратных матриц фиксированного порядка n  N с коэффициентами из кольца (K , +, ) с операциями матричного сложения и умножения. В частности, K может быть равно Z , Q , R , C или Z /n Z приn  N .

4. Множество всех вещественных функций, определенных на фиксированном интервале (a ; b ) вещественной числовой оси, с обычными операциями сложения и умножения функций.

5. Множество полиномов (многочленов) K [x ] с коэффициентами из кольца (K , +, ) от одной переменной x с естественными операциями сложения и умножения полиномов. В частности, кольца полиномов Z [x ], Q [x ], R [x ], C [x ], Z /n Z [x ] приn  N .

6. Кольцо векторов (V 3 (R ), +, ) c операциями сложения и векторного умножения.

7. Кольцо ({0}, +, ) с операциями сложения и умножения: 0 + 0 = 0, 0  0 = = 0.

Определение 4.1.2. Различают конечные и бесконечные кольца (по числу элементов множества K ), но основная классификация ведется по свойствам умножения. Различают ассоциативные кольца, когда операция умножения ассоциативна (пункты 1–5, 7 примера 4.1.1) и неассоциативные кольца (пункт 6 примера 4.1.1: здесь , ). Ассоциативные кольца делятся на кольца с единицей (есть нейтральный элемент относительно умножения) и без единицы , коммутативные (операция умножения коммутативна) и некоммутативные .

Теорема 4.1.1. Пусть (K , +, ) – ассоциативное кольцо с единицей. Тогда множество K * обратимых относительно умножения элементов кольца K – мультипликативная группа.

Проверим выполнение определения группы 3.2.1. Пусть a , b  K * . Покажем, что a  b  K * .  (a  b ) –1 = b –1  а –1  K . Действительно,

(a  b )  (b –1  а –1) = a  (b  b –1)  а –1 = a  1  а –1 = 1,

(b –1  а –1)  (a  b ) = b –1  (а –1  a )  b = b –1  1  b = 1,

где а –1 , b –1  K – обратные элементы к a и b соответственно.

1) Умножение в K * ассоциативно, так как K – ассоциативное кольцо.

2) 1 –1 = 1: 1  1 = 1  1  K * , 1 – нейтральный элемент относительно умножения в K * .

3) Для  a  K * , а –1  K * , так как (а –1)  a = a  (а –1) = 1
(а –1) –1 = a .

Определение 4.1.3. Множество K * обратимых относительно умножения элементов кольца (K , +, ) называют мультипликативной группой кольца .

Пример 4.1.2. Приведем примеры мультипликативных групп различных колец.

1. Z * = {1, –1}.

2. M n (Q ) * = GL n (Q ), M n (R ) * = GL n (R ), M n (C ) * = GL n (C ).

3. Z /n Z * – множество обратимых классов вычетов, Z /n Z * = { | (k , n ) = 1, 0  k < n }, при n > 1 | Z /n Z * | =  (n ), где  – функция Эйлера.

4. {0} * = {0}, так как в данном случае 1 = 0.

Определение 4.1.4. Если в ассоциативном кольце (K , +, ) с единицей группа K * = K \{0}, где 0 – нейтральный элемент относительно сложения, то такое кольцо называют телом или алгеброй с делением . Коммутативное тело называется полем .

Из данного определения очевидно, что в теле K *   и 1  K * , значит, 1  0, поэтому минимальное тело, являющееся полем, состоит из двух элементов: 0 и 1.

Пример 4.1.3.

1. (Q , +, ), (R , +, ), (C , +, ) – соответственно числовые поля рациональных, вещественных и комплексных чисел.

2. (Z /p Z , +, ) – конечное поле из p элементов, если p – простое число. Например, (Z /2Z , +, ) – минимальное поле из двух элементов.

3. Некоммутативным телом является тело кватернионов – совокупность кватернионов, то есть выражений вида h = a + bi + cj + dk , где a , b , c , d  R , i 2 = = j 2 = k 2 = –1, i  j = k = – j  i , j  k = i = – k  j , i  k = – j = – k  i , с операциями сложения и умножения. Кватернионы складываются и перемножаются почленно с учетом указанных выше формул. Для всякого h  0 обратный кватернион имеет вид:
.

Различают кольца с делителями нуля и кольца без делителей нуля.

Определение 4.1.5. Если в кольце найдутся ненулевые элементы a и b такие, что a  b = 0, то их называют делителями нуля , а само кольцо – кольцом с делителями нуля . В противном случае кольцо называется кольцом без делителей нуля .

Пример 4.1.4.

1. Кольца (Z , +, ), (Q , +, ), (R , +, ), (C , +, ) – кольца без делителей нуля.

2. В кольце (V 3 (R ), +, ) каждый отличный от нуля элемент является делителем нуля, поскольку
для всех
V 3 (R ).

3. В кольце матриц M 3 (Z ) примерами делителей нуля являются матрицы
и
, так как A  B = O (нулевая матрица).

4. В кольце (Z / n Z , +, ) с составным n = k  m , где 1 < k , m < n , классы вычетов и являются делителями нуля, так как .

Ниже приведем основные свойства колец и полей.

Fsb4000 писал(а):

2. а)делимая абелева группа не имеет максимальных подгрупп

Думаю, хватит уже полных решений, да? Модераторы ведь зароют за то, что я Вам уже две задачи полностью расписал!!! Посему, чтобы их не злить, ограничимся идеями.

Ниже мы везде считаем, что натуральный ряд начинается с единицы.

Предположите, что --- делимая группа и --- максимальная подгруппа в . Рассмотрите

Докажите, что --- подгруппа в , содержащая . В силу максимальности возможны только два случая: или .

Рассмотрите каждый из случаев по отдельности и придите к противоречию. В случае возьмите и докажите, что

есть собственная подгруппа в , содержащая и не равная . В случае зафиксируйте и , такие что и покажите, что

является собственной подгруппой в , содержащей и не совпадающей с .

Добавлено спустя 10 минут 17 секунд:

Fsb4000 писал(а):

б) привести примеры делимых абелевых групп,могут ли они быть конечными?

Самый простой пример --- это . Ну или , --- что Вам больше нравится.

Насчёт конечности... конечно же делимая группа не может быть конечной (за исключением тривиального случая, когда группа состоит из одного нуля). Предположите, что --- конечная группа. Докажите, что для некоторого и всех . Потом возьмите такое и узрите, что уравнение неразрешимо при ненулевом .

Добавлено спустя 9 минут 56 секунд:

Fsb4000 писал(а):

4. Построить пример коммутативного и ассоциативного кольца R ()(), в котором нет максимальных идеалов.

Возьмите абелеву группу . Покажите, что она делимая. Умножение задайте следующим образом:

Покажите, что для выполняется всё, что надо.

Упс!.. А ведь ошибся я тут, похоже. Максимальный идеал есть, он равен . Н-да, надо ещё подумать... Но не буду я сейчас ничего думать, а поеду лучше на работу, в универ. Надо же Вам хоть что-то для самостоятельного решения оставить!

Добавлено спустя 10 минут 29 секунд:

Fsb4000 писал(а):

1.Доказать что произвольное кольцо с единицей содержит максимальный идеал.

по решению: 1. По лемме Цорна выберем минимальный положительный элемент, он и будет порождающим идеал.

Ну... не знаю, что Вы там за минимальный положительный элемент такой придумали. По моему, это полная чушь. Какой Вы там в произвольном кольце "положительный элемент" найдёте, если в этом кольце порядок не задан и непонятно, что там "положительное", а что "отрицательное"...

Но насчёт того, что надо применять лемму Цорна --- это правильная идея. Только применять её надо к множеству собственных идеалов кольца. Берёте это множество, упорядочиваете его обычным отношением включения и показываете, что данное упорядочивание индуктивно. Потом, по лемме Цорна, заключаете, что в этом множестве есть максимальный элемент. Этот максимальный элемент и будет максимальным идеалом!

Когда будете показывать индуктивность, то в качестве верхней грани для цепи собственных идеалов берите их объединение. Оно тоже будет идеалом, а собственным оно окажется потому, что единица в него не войдёт. И вот, кстати, в кольце без единицы доказательство через лемму Цорна не проходит, а всё дело именно в этом моменте

Добавлено спустя 34 минуты 54 секунды:

Alexiii писал(а):

Любое кольцо по определению имеет единицу,так что немыслимо писать "кольцо с единицей". Любое кольцо само по себе идеал кольца и притом,очевидно,максимальный...

Нас учили, что наличие единицы в определение кольца не входит. Так что произвольное кольцо не обязано содержать единицу, а если она в нём всё-таки есть, то сказать про такое кольцо, что оно является "кольцом с единицей", более чем уместно!

Думаю, что порывшись в библиотеке, я найду кучу весьма солидных учебников по алгебре, которые подтверждают мою точку зрения. И в матэнциклопедии написано, что кольцо не обязано единицу иметь. Так что всё в условии задачи у автора темы правильно, нечего на него гнать!

Максимальным идеалом кольца, по определению , называется идеал, максимальный по включению среди собственных идеалов . Об этом не то что во многих, а просто во всех учебниках по алгебре написано, в которых теория колец присутствует. Так что насчёт максимальности у Вас ещё один гон совершенно не по теме!

Добавлено спустя 6 минут 5 секунд:

Alexiii писал(а):

Вообще,как я понял из ваших комментов, "кольца с единицией" пишут только для того,чтобы исключить одноэлементный случай.

Совершенно неправильно поняли! "Кольца с единицей" пишут для того, чтобы обозначить наличие единицы в кольце

А колец без единицы полно. К примеру, множество чётных целых чисел с обычными сложением и умножением образуют такое кольцо.

называется порядком элемента а. Если такого n не существует, то элемент а называется элементом бесконечного порядка.

Теорема 2.7 (малая теорема Ферма). Если a G и G конечная группа, то a |G| =e .

Примем без доказательства.

Напомним, что каждая группа G, ° является алгеброй с одной бинарной операцией, для которой выполняются три условия, т.е. указанные аксиомы группы.

Подмножество G 1 множества G с той же операцией, что и в группе, называется подгруппой, если G 1 , ° является группой.

Можно доказать, что непустое подмножество G 1 множества G является подгруппой группы G, ° тогда и только тогда, когда множество G 1 вместе с любыми элементами а и b содержит элемент а° b -1 .

Можно доказать следующую теорему.

Теорема 2.8 . Подгруппа циклической группы является циклической.

§ 7. Алгебра с двумя операциями. Кольцо

Рассмотрим алгебры с двумя бинарными операциями.

Кольцом называется непустое множество R , на котором введены две бинарные операции + и ° , называемые сложением и умножением такие, что:

1) R; + является абелевой группой;

2) умножение ассоциативно, т.е. для a,b,c R: (a ° b ° ) ° c=a ° (b ° c) ;

3) умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е. для

a,b,c R: a° (b+c)=(a° b)+(а ° c) и (а +b)° c= (a° c)+(b° c).

Кольцо называется коммутативным, если для a,b R: a ° b=b ° a .

Кольцо записываем как R; +, ° .

Так как R является абелевой (коммутативной) группой относительно сложения, то она имеет аддитивную единицу, которую обозначают через 0 или θ и называют нулем. Аддитивную обратную для a R обозначают через -а. При этом в любом кольце R имеем:

0 +x=x+ 0 =x, x+(-x)=(-x)+x=0 , -(-x)=x.

Тогда получаем, что

x° y=x° (y+ 0 )=x° y+ x° 0 x° 0 =0 для х R; x° y=(х + 0 )° y=x° y+ 0 ° y 0 ° y=0 для y R.

Итак, мы показали, что для х R: x ° 0 = 0° х = 0. Однако из равенства x ° y=0 не следует, что х= 0 или у= 0. Покажем это на примере.

Пример. Рассмотрим множество непрерывных на отрезке функций. Введем для этих функций обычные операции сложения и умножения: f(x)+ ϕ (x) и f(x)· ϕ (x) . Как легко видеть, получим кольцо, которое обозначается C . Рассмотрим функцию f(x) и ϕ (x) , изображенные на рис. 2.3. Тогда получим, что f(x) ≡ / 0 и ϕ (x) ≡ / 0, но f(x)· ϕ (x) ≡0.

Мы доказали, что произведение равно нулю, если равен нулю один из множителей: a ° 0= 0 для a R и на примере показали, что может быть, что a ° b= 0 для a ≠ 0 и b ≠ 0.

Если в кольце R имеем, что a ° b= 0, то а называется левым, а b правым делителями нуля. Элемент 0 считаем тривиальным делителем нуля.

				f(x)·ϕ(x)≡0
	ϕ (x)

Коммутативное кольцо без делителей нуля, отличных от тривиального делителя нуля, называют целостным кольцом или областью целостности.

Легко видеть, что

0 =x° (y+(-y))=x° y+x° (-y), 0 =(x+(-x))° y=x° y+(-x)° y

и поэтому x ° (-y)=(-x) ° y является обратным элементом для элемента х° у, т.е.

х ° (-у ) = (-х )° у = -(х ° у ).

Аналогично можно показать, что (- х) ° (- у) = х° у.

§ 8. Кольцо с единицей

Если в кольце R существует единица относительно умножения, то эту мультипликативную единицу обозначают через 1.

Легко доказать, что мультипликативная единица (как и аддитивная) единственна. Мультипликативную обратную для a R (обратную по умножению) будем обозначать через а-1 .

Теорема 2.9 . Элементы 0 и 1 являются различными элементами ненулевого кольца R .

Доказательство. Пусть R содержит не только 0. Тогда для a ≠ 0 имеем а° 0= 0 и а° 1= а ≠ 0, откуда следует, что 0 ≠ 1, ибо если бы 0= 1, то и их произведения на а совпадали бы.

Теорема 2.10 . Аддитивная единица, т.е. 0, не имеет мультипликативного обратного.

Доказательство. а° 0= 0° а= 0 ≠ 1 для а R . Таким образом, ненулевое кольцо никогда не будет группой относительно умножения.

Характеристикой кольца R называют наименьшее натуральное число k

такое, что a + a + ... + a = 0 для всех a R . Характеристика кольца

k − раз

записывается k=char R . Если указанного числа k не существует, то полагаем char R= 0.

Пусть Z – множество всех целых чисел;

Q – множество всех рациональных чисел;

R – множество всех действительных чисел; С – множество всех комплексных чисел.

Каждое из множеств Z, Q, R, C с обычными операциями сложения и умножения является кольцом. Эти кольца являются коммутативными, с мультипликативной единицей, равной числу 1. Эти кольца не имеют делителей нуля, следовательно, являются областями целостности. Характеристика каждого из этих колец равна нулю.

Кольцо непрерывных на функций (кольцо C ) тоже является кольцом с мультипликативной единицей, которая совпадает с функцией, тождественно равной единице на . Это кольцо имеет делители нуля, поэтому не является областью целостности и char C= 0.

Рассмотрим ещё один пример. Пусть М - непустое множество и R= 2M - множество всех подмножеств множества М. На R введем две операции: симметрическую разность А+ В= А В (которую назовём сложением) и пересечение (которое назовём умножением). Можно убедиться, что получили

кольцо с единицей; аддитивной единицей этого кольца будет , а мультипликативной единицей кольца будет множество М. Для этого кольца при любом А, А R , имеем: А+ А = А А= . Следовательно, charR = 2.

§ 9. Поле

Полем называется коммутативное кольцо, у которого ненулевые элементы образуют коммутативную группу относительно умножения.

Приведем прямое определение поля, перечисляя все аксиомы.

Поле – это множество P с двумя бинарными операциями «+ » и «° », называемыми сложением и умножением, такими, что:

1) сложение ассоциативно: для a, b, c R: (a+b)+c=a+(b+c) ;

2) существует аддитивная единица: 0 P, что для a P: a+0 =0 +a=a;

3) существует обратный элемент по сложению: для a P (-a) P:

(-a)+a=a+(-a)=0;

4) сложение коммутативно: для a, b P: a+b=b+a ;

(аксиомы 1 – 4 означают, что поле есть абелева группа по сложению);

5) умножение ассоциативно: для a, b, c P: a ° (b ° c)=(a ° b) ° c ;

6) существует мультипликативная единица: 1 P , что для a P:

1 ° a=a° 1 =a;

7) для любого ненулевого элемента (a ≠ 0) существует обратный элемент по умножению: для a P, a ≠ 0, a -1 P: a -1 ° a = a ° a -1 = 1;

8) умножение коммутативно: для a,b P: a ° b=b ° a ;

(аксиомы 5 – 8 означают, что поле без нулевого элемента образует коммутативную группу по умножению);

9) умножение дистрибутивно относительно сложения: для a, b, c P: a° (b+c)=(a° b)+(a° c), (b+c) ° a=(b° a)+(c° a).

Примеры полей:

1) R;+, - поле вещественных чисел;

2) Q;+, - поле рациональных чисел;

3) C;+, - поле комплексных чисел;

4) пусть Р 2 ={0,1}. Определим, что 1 +2 0=0 +2 1=1,

1 +2 1=0, 0 +2 0=0, 1×0=0×1=0×0=0, 1×1=1. Тогда F 2 = P 2 ;+ 2 , является полем и называется двоичной арифметикой.

Теорема 2.11 . Если а ≠ 0, то в поле единственным образом разрешимо уравнение а° х=b .

Доказательство . a° x=b a-1 ° (a° x)=a-1 ° b (a-1 ° a)° x=a-1 ° b

Краткое описание

Определение. Кольцом называется алгебра К = ‹К, +, -, ·, 1› типа (2, 1, 2, 0), главные операции которой удовлетворяют следующим условиям:

Прикрепленные файлы: 1 файл

Кольцо. Определение. Примеры. Простейшие свойства колец. Гомоморфизм и изоморфизм колец.

Определение. Кольцом называется алгебра К = ‹К, +, -, ·, 1› типа (2, 1, 2, 0), главные операции которой удовлетворяют следующим условиям:

1. алгебра ‹К, +, -› есть абелева группа;
2. алгебра ‹К, ·, 1› есть моноид;
3. умножение дистрибутивно относительно сложения, то есть для любых элементов a, b, c из К

(a + b) · c = a · c + b · c, c· (a + b) = c · a + c · b.

Основное множество К кольца К обозначается также через |К|. Элементы множества К называются элементами кольца К.

Опред. Группа ‹К, +, -› называется аддитивной группой кольца К. Нуль этой группы, то есть нейтральный элемент относительно сложения, называется нулем кольца и обозначается 0 или 0 К.

Опред. Моноид ‹К, ·, 1› называется мультипликативным моноидом кольца К. Элемент 1, обозначаемый также через 1 К, являющийся нейтральным относительно умножения, называется единицей кольца К.

Кольцо К называется коммутативным, если a · b = b · a для любых элементов a , b кольца. Кольцо К называется нулевым, если |К| = {0 К }.

Опред. Кольцо К называется областью целостности, если оно коммутативно, 0 К ≠ 1 К и для любых a, b Î К из a· b = 0 следует a = 0 или b = 0.

Опред. Элементы a и b кольца К называются делителями нуля, если a ≠ 0, b ≠ 0 или ba = 0. (Любая область целостности не имеет делителей нуля.)

Пример. Пусть К – множество всех действительных функций, определенных на множестве R действительных чисел. Сумма f + g, произведение f · g, функция

f(-1) и единичная функция 1 определяются: (f + g) (х) = f (х) + g(х);

(f · g)(х) = f(х) · g(х); (–f) (х) =–f (х); 1(х) = 1. Непосредственная проверка показывает, что алгебра ‹К, +, -, ·, 1› является коммутативным кольцом.

Простейшие свойства. Пусть К – кольцо. Так как алгебра ‹К, +, -› есть абелева группа, то для любых элементов a, b, из К уравнение b + x = a имеет единственное решение a + (-b), которое обозначается также через a – b.

1. если a + b = a, то b = 0;
2. если a + b = 0, то b = -a;
3. – (-a) = a;
4. 0 · a = a · 0 = a;
5. (-a)b = a(-b) = -(ab);
6. (-a)(-b) = a · b;
7. (a – b)c = ac – bc и c(a – b) = ca – cb.

Пусть К = ‹К, +, -, ◦, 1› и К` = ‹К`, +, -, ·, 1`› - кольца. Говорят, что отображение h множества К в К` сохраняет главные операции кольца К, если выполнены условия:

1. h(a+b)=h(a)+h(b) для любых a, b из кольца К;
2. h(-a)=-h(a) для любого a из К;
3. h(a·b) = h(a)◦h(b) для любых a, b из К;
4. h(1) = 1`.

Опред. Гомоморфизмом кольца К в (на) кольцо К` называется отображение множества К в (на) К`, сохраняющее все главные операции кольца К. Гомоморфизм кольца К на К` называется эпиморфизмом.

Опред. Гомоморфизм h кольца К на кольцо К` называется изоморфизмом, если h является инъективным отображением множества K на К`. Кольца К и К` называются изоморфными, если существуют изоморфизм кольца К на кольцо К`.